Groupe de higman-sims

Groupe de higman-sims

Groupe de Higman-Sims

En mathématiques, le groupe de Higman–Sims est un groupe sporadique simple fini d'ordre 44 352 000. Il peut être caractérisé comme le sous-groupe simple d'index 2 dans le groupe des automorphismes du graphe de Higman–Sims. Le graphe de Higman–Sims possède 100 nœuds, donc le groupe de Higman–Sims, ou HS\,, a une représentation de permutation de degré 100.

HS\, est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Donald G. Higman et Charles C. Sims.

On dit qu'un jour de 1967, Higman et Sims étaient présents à une présentation par Marshall Hall du groupe de Hall-Janko, qui possède une représentation de degré 100, avec un sous-groupe d'orbites 36 et 63. Il leur est apparu d'essayer le groupe de Mathieu M_{22}\,, qui possède des représentations de degré 22 et 77. Le système de Steiner M_{22}\, possède 77 blocs. Rapidement, ils trouvèrent HS\,, avec un stabilisateur à un point isomorphe à M_{22}\,.

"Higman" peut aussi faire référence au mathématicien Graham Higman de l'Université d'Oxford qui découvrit simultanément le groupe comme le groupe d'automorphisme d'une certaine 'géometrie' sur 176 points. En conséquence, HS\, possède une représentation doublement transitive de degré 176.

Rapport avec les groupes de Conway

Dans son article de 1968, maintenant classique, John Horton Conway montra comment le graphe de Higman-Sims pouvait être incorporé dans le réseau de Leech. Ici, HS\, fixe un triangle 332 et un sous-réseau à 22 dimensions. Le groupe devient ainsi un sous-groupe de chaque groupe de Conway Co_1\,, Co_2\, et Co_3\,. Ceci donne une manière explicite pour approcher les représentation à petites dimensions du groupe, et avec elle, une signification directe pour le calcul à l'intérieur du groupe.

Références

  • John H. Conway "A Perfect Group of Order 8,315,553,613,086,720,000 and the Sporadic simple groups" Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA S. 61 (2): 398. (1968)
  • John D. Dixon & Brian Mortimer, 'Permutation Groups', Springer-Verlag (1996).
  • Joseph A. Gallian, 'The Search for Finite Simple Groups', Mathematics Magazine, v. 48 (1976), no. 4, p. 163.
  • Higman D.G. and Sims C.C. "A simple group of order 44,352,000" Zentralblatt-MATH 1O5 (1968), 110-113.
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