Fonction de Cobb-Douglas

La fonction de Cobb-Douglas est une fonction largement utilisée en économie pour représenter le lien qui existe entre intrant et extrant. Cette fonction a été proposée et testée économétriquement par l'économiste américain Paul Douglas et le mathématicien américain Richard Cobb en 1928.

Sommaire

1 Forme générale
2 Fonction de production
3 Caractéristiques du processus de production
4 Liens internes
5 Bibliographie

Forme générale

La forme générale de la fonction de Cobb-Douglas est la suivante :

$\, y=c \cdot \prod_i x_i^{a_i}$ où $\, c$ , $\, a_i$ > 0

L'indice $i$ correspond aux facteurs de production (par exemple les quantités de travail ou de capital utilisées pour produire un bien). Si la somme des coefficients $a i$ est égale à 1, alors la fonction de production correspond à un rendement d'échelle constant. Si cette somme est inférieure à 1, les rendements d'échelle sont décroissants, et si elle est supérieure à 1, ils sont croissants.

Cette forme peut être linéarisée de la manière suivante :

$\, \ln(y) = \ln(c) + \sum_i{a_i \cdot \ln(x_i)}$

La fonction de Cobb-Douglas peut s'appliquer à la fonction de production ou à la fonction d'utilité.

Fonction de production

Dans le cadre d'une fonction de production à deux facteurs, la forme généralement retenue est de la forme

$\, Y = c \cdot K^\alpha \cdot L^\beta$ .

où

Y correspond au niveau de production
K à celui du capital
L à celui du travail
c, α et β sont des constantes déterminées par la technologie.

Dans le cadre du modèle de la concurrence pure et parfaite, les coefficients α et β correspondent à la répartition des revenus entre le travail et le capital. Or les preuves statistiques de la cohérence de ce modèle, effectuées par Cobb et Douglas, ont aussi montré que la clé de répartition des revenus entre le travail et le capital est constante au cours du temps dans les pays développés. Cependant, cette constance, clairement établie à l'époque, est aujourd'hui remise en cause.

En modélisation économique, on utilise fréquemment la fonction particulière suivante :

$Y = c \cdot K^\alpha \cdot L^{1-\alpha}$

Dans ce cas particulier (où la somme des coefficients est égale à 1), les rendements d'échelle sont constants (mathématiquement, la fonction est homogène de degré 1), ce qui signifie que si le niveau des intrants est augmenté d'un certain pourcentage, celui des extrants le sera d'autant.

Caractéristiques du processus de production

Sur base de l'hypothèse précédente (fonction homogène au premier ordre), on peut mettre en évidence quelques caractéristiques du processus de production en ayant recours aux propriétés mathématiques.

Les élasticités

En ayant recours aux élasticités de la production par rapport à chacun des facteurs (le travail L et le capital K) on constate que ces élasticités valent les exposants de ces facteurs dans la fonction.
Pour rappel, ces élasticités mesurent la sensibilité de réaction de la production à des modifications initiales de ces facteurs.

Ce qui nous donne:

$ε(Y, K) = α$ $ε(Y, L) = 1 - α$

Les productivités marginales

Les productivités marginales de chacun des facteurs sont fonction des proportions des quantités utilisées des deux facteurs.
La productivité marginale de chaque facteur dépend donc du rapport de son utilisation avec l'autre.

$\frac{\partial Y}{\partial K} = c \cdot \alpha \cdot \left (\frac{K}{L}\right) ^ {\alpha-1}\,$ $\frac{\partial Y}{\partial L} = c \cdot (1-\alpha) \cdot \left (\frac{K}{L}\right) ^{\alpha}\,$

De plus, lorsqu'on augmente l'utilisation d'un facteur, la productivité marginale de ce dernier diminue, et la productivité marginale de l'autre facteur croît.
Pour démontrer ceci, il suffit de dériver la fonction de production par rapport aux deux variables:

$\frac{\partial^2 Y}{\partial K \partial L} = \frac{\alpha \cdot (1-\alpha) \cdot Y}{K \cdot L} \,$

avec $\alpha \cdot (1-\alpha) > 0 \,$ .

Les productivités moyennes

Tout comme les productivités marginales, les productivités moyennes de chacun des facteurs sont fonction des proportions des quantités utilisées des deux facteurs.
La productivité moyenne de chaque facteur dépend donc du rapport de son utilisation avec l'autre.

$\frac{Y}{K} = c \cdot \left (\frac{K}{L}\right) ^ {\alpha-1}\,$ $\frac{Y}{L} = c \cdot \left (\frac{K}{L}\right) ^ \alpha\,$

Rendements décroissants

En ayant recours aux dérivées secondes, nous pouvons faire apparaître une formulation mathématique de la loi des rendements décroissants:

$\frac{\partial^2 Y}{\partial K^2} = \alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \frac{Y}{K^2}\,$ $\frac{\partial^2 Y}{\partial L^2} = \alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \frac{Y}{L^2} \,$

avec $\alpha \cdot (\alpha-1) < 0 \,$ . La productivité marginale d'un facteur diminue lorsqu'on accroît son utilisation.

Liens internes

Bibliographie

Paul Douglas, Charles Cobb : « A Theory of Production » in American Economic Review, Vol. 18 (1928)

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