Conjecture de Milnor

Conjecture de Milnor
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En mathématiques, la conjecture de Milnor dit que pour tout corps F de caractéristique différente de 2, la K-théorie de Milnor (en) modulo 2 de F est isomorphe à sa cohomologie étale (en) (ou ce qui est équivalent : à sa cohomologie de Galois i.e. à la cohomologie de son groupe de Galois absolu, profini), à coefficients dans Z/2Z. Après être restée ouverte pendant environ vingt ans, elle a été démontrée en 1996 par Vladimir Voevodsky, qui a reçu pour cela une médaille Fields en 2002, et qui a contribué à la démonstration, en 2009, de sa généralisation : la conjecture de Bloch-Kato (en).

Sommaire

Énoncé du théorème

Soit F un corps de caractéristique différente de 2. Pour tout entier naturel n, il existe un isomorphisme

K_n^M(F)/2 \cong H_{\acute{e}t}^n(F, \Z/2\Z) .

À propos de la preuve

Vladimir Voevodsky a démontré ce théorème en utilisant plusieurs idées développées par lui-même, Andrei Suslin (en), Fabien Morel (en), Eric Friedlander et d'autres, incluant sa toute nouvelle formulation de la cohomologie motivique (une sorte de substitut de la cohomologie singulière pour les variétés algébriques) et une version motivique de l'algèbre de Steenrod (en).

Généralisation

La preuve de la conjecture de Bloch (de)-Kato (en), qui est l'analogue pour les nombres premiers différents de 2, a été achevée en 2009 grâce aux travaux de Voevodsky, Markus Rost (de) et Charles Weibel. La conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) s'en déduit.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Milnor conjecture » (voir la liste des auteurs)
  • (en) V. Voevodsky, The Milnor Conjecture, prépublication (1996) [lire en ligne]
  • Bruno Kahn, La conjecture de Milnor, Séminaire Bourbaki, vol. 39, N° 834 (1997), 379-418 [lire en ligne].
  • (en) C. Weibel, The norm residue isomorphism theorem, Journal of Topology (en), vol. 2 (2009), 346-372 [lire en ligne].

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Conjecture de Milnor de Wikipédia en français (auteurs)

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