Algèbre étale

En mathématiques, une algèbre étale sur un corps commutatif K est une algèbre unitaire associaive sur K qui est isomorphe au produit d'une nombre fini d'extensions séparables de degré fini sur K.

Les algèbres étales sur K ne sont autres que les algèbres séparables commutatives sur K.

Exemples

Voici des exemples d'algèbres étales sur K.

• Le corps de base K.
• Pour tout entier positif ou nul n, l'algèbre produit Kⁿ de n copies de K. On dit qu'une
• Si K est algébriquement clos (ou plus généralement si K est séparablement clos), par exemple si K est le corps des nombres complexes, alors ce sont, à isomorphisme près, les seules.
• L'algèbre triviale {0}.
• Les extensions séparables de K.
• Si K = est le corps R des nombres réels, alors les algèbres étales sont, à isomorphismes près, de la forme Rⁿ × C^p, où n et p sont des entiers positifs ou nuls.

On dit qu'une algèbre étale A sur K est déployée (split en anglais) si elle est isomorphe à Kⁿ, où n est la dimension de A sur K. Si K est algébriquement clos (ou plus généralement séparablement clos), toute algèbre étale sur K est déployée.

Propriétés

• Toute sous-algèbre (unitaire) d'une algèbre étale est étale.
• L'algèbre produit d'une famille finie d'algèbres étales est étale.
• Le produit tensoriel de deux algèbres étales (ou plus généralement d'une famille finie d'algèbres étales) est une algèbre étale.
• Si L est un surcorps commutatif de K, alors la L-algèbre L ⊗_K A déduite de A par extension des scalaires de K à L est étale.
• Soit L une extension de degré fini de K et A une algèbre sur K. Pour que la K-algèbre sous-jacente à A soit étale, il faut et il suffit que la L-algèbre A soit étale et que l'extension L de K soit séparable (la dernière condition est satisfaite si la caractéristique de K est nulle).

Algèbres étales quadratiques

Une algèbre étales est dite quadratique si sa dimension sur K est égale à 2. Les algèbres étales quadratiques sur K sont soient isomorphes à K × K ou sont des extensions quadratiques sur K (et réciproquement).

Exemples.

• Si K est algébriquement clos (par exemple si K est le corps des nombres complexes), alors toute algèbre étale quadratique sur K est isomorphe à isomorphe K × K.
• Si K est le corps R des nombres réels, alors les algèbres étales quadratiques sont isomorphes à R × R ou au corps C des nombres complexes.

Si A est une algèbre étale quadratique sur K, il existe un unique automorphisme d'algèbre σ de A qui est différent de l'identité, et il est involutif, c'est-à-dire σ² est l'identité de A. On l'appelle conjugaison de A. Par exemple, si la conjugaison est K × K envoie (x, y) sur (y, x). La conjugaison de C est la conjugaison usuelle des nombres complexes.

Le groupe des automorphisme de K-algèbre d'une algèbre quadratique étale est un groupe à deux éléments.

Références

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chapitre 5.
• Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost et Jean-Pierre Tignol, The Book of Involution, Americam Mathematical Society, 1998.

Articles connexes

• Algèbre séparable
• Extension de corps
• Extension séparable
• Algèbre semi-simple

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