Énergie de déformation

Énergie de déformation

Résistance des matériaux

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Essai de compression sur une éprouvette de béton, une pression croissante est appliquée verticalement sur l'échantillon pendant que deux appareils mesurent la réaction du cylindre au test
À l'issue du test, l'éprouvette s'est rompue. Noter la cassure longitudinale

La résistance des matériaux, en abrégé RDM, est une discipline particulière de la mécanique des milieux continus permettant le calcul des contraintes et déformations dans les structures (machines, génie mécanique, bâtiment et génie civil).

La RDM permet de ramener l'étude du comportement global d'une structure (relation entre sollicitations — forces ou couples — et déplacements) à celle du comportement local des matériaux la composant (relation entre contraintes et déformations). L'objectif est de concevoir la structure suivant des critères de résistance, de déformation admissible et de coût financier acceptable.

Lorsque l'intensité de la contrainte augmente, il y a d'abord déformation élastique (le matériau reprend sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît), puis déformation plastique (le matériaux ne reprend pas sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît, il subsiste une déformation résiduelle), et enfin rupture (la sollicitation dépasse la résistance intrinsèque du matériau).

Sommaire

Histoire

Premier cours de Résistance des Matériaux donné par August Wöhler à l'Université de Göttingen en 1842. (sources : voir discussion)

Hypothèses de la RDM

Dans son utilisation courante, la RDM fait appel aux hypothèses suivantes :

Le matériau est :

  • élastique (le matériau reprend sa forme initiale après un cycle chargement déchargement),
  • linéaire (les déformations sont proportionnelles aux contraintes),
  • homogène (le matériau est de même nature dans toute sa masse),
  • isotrope (les propriétés du matériau sont identiques dans toutes les directions).

Le problème est :

  • en petits déplacements (les déformations de la structure résultant de son chargement sont négligeables et n'affectent pratiquement pas sa géométrie),
  • quasi-statique (pas d'effet dynamique),
  • quasi-isotherme (pas de changement de température).

Notion de poutre

Article détaillé : Théorie des poutres.

L'ingénieur utilise la résistance des matériaux avant tout pour déterminer les dimensions des éléments de construction et vérifier leur résistance et leur déformation. L'un des éléments structurels le plus fréquent est la poutre, c'est-à-dire un objet de grande longueur par rapport à sa section, chargée dans son plan moyen de symétrie.

Sollicitations

Sollicitations élémentaires

Type Commentaire Exemple
Traction Allongement longitudinal, on tire de chaque côté barre de remorquage
Compression Raccourcissement, on appuie de chaque côté poteau supportant un plancher
Cisaillement Glissement relatif des sections goujon de fixation
Torsion Rotation par glissement relatif des sections droites arbre de transmission d'un moteur
Flexion simple Fléchissement sans allongement des fibres contenues dans le plan moyen planche de plongeoir
Flexion pure ou circulaire Fléchissement sans effort tranchant dans certaines zones partie de poutre entre deux charges concentrées

Principes fondamentaux de la théorie des poutres

Deux des dimensions de la poutre sont petites par rapport à la troisième. En d'autres termes les dimensions de la section droite sont petites par rapport à la longueur de la poutre. Ce principe permet d'approximer la poutre par une ligne (droite ou courbe) et des sections droites.

En général, une longueur ou une distance de l'ordre de deux à trois fois la plus grande dimension de la section droite est considérée suffisante pour appliquer le modèle RDM.

Le principe de Saint-Venant précise que le comportement en un point quelconque de la poutre, pourvu que ce point soit suffisamment éloigné des zones d'applications des forces et des liaisons, est indépendant de la façon dont sont appliquées les forces et de la façon dont sont physiquement réalisées les liaisons; le comportement dépend alors uniquement du torseur des forces internes en ce point.

La conséquence est que les contraintes produites par un système de forces dans une section éloignée du point d'application de ces forces ne dépendent que de la résultante générale et du moment résultat du système de forces appliquées à gauche de cette section[1].

Le modèle RDM n'est plus valide lorsque le principe de Saint Venant n'est pas satisfait, c'est à dire à proximité des liaisons, des appuis ou des points d'application des forces. Dans ces cas particuliers, il faut appliquer les principes de la Mécanique des milieux continus.

Le principe de Navier-Bernoulli précise que les sections droites le long de la fibre moyenne[2] restent planes après déformation. Les déformations dues à l'effort tranchant montrent que les sections droites ne peuvent pas rester planes mais subissent un gauchissement. Pour tenir de ce fait l'énoncé de ce principe peut prendre la forme suivante: deux sections droites infiniment voisines deviennent après déformation deux sections gauches superposables par déplacement. Comme ce déplacement est petit, on peut considérer que les allongements ou raccourcissements de tout tronçon de fibre sont des fonctions linéaires des coordonnées de la fibre dans le plan de la section[1].

La loi de Hooke précise que, dans le domaine élastique du matériau, les déformations sont proportionnelles aux contraintes.

Le principe de superposition permet de décomposer toute sollicitation complexe en une somme de sollicitations élémentaires dont les effets sont ensuite additionnés. Ce principe est directement lié à l'hypothèse de linéarité de la loi de Hooke.

L'équilibre statique d'un système exige que :

  • La somme des forces extérieures en tout point est égale au vecteur nul :
\sum {\overrightarrow{F}_{ext}} = {\overrightarrow{0}}.
  • La somme des moments calculés en tout point est égale au vecteur nul :
\sum {\overrightarrow{M}_{ext}} = {\overrightarrow{0}}.

le théorème de Castigliano définit le déplacement du point, lieu d'application d'une force, par la dérivée du potentiel élastique par rapport de cette force.

Quelques notations et définitions

La terminologie employée suivant la grandeur étudiée dépend du point de vue par rapport à la pièce étudiée.

grandeur point de vue extérieur point de vue intérieur
mécanique efforts contraintes
géométrique déplacements[3] déformations

Les efforts (ou chargement) regroupent les forces [N, kN ou MN] et les moments [Nm, kNm ou MNm]. Les déplacements sont l'ensemble des translations [unités de longueur compatibles avec celles utilisées pour les moments] et des rotations [rad].


Contraintes mécaniques élémentaires

La contrainte normale σ, exprimée en Pa ou N/m², le plus souvent en MPa ou N/mm², est proportionnelle à l’allongement relatif \displaystyle\epsilon [sans dimension] avec un facteur constant désigné sous le nom de module d'élasticité ou encore module de Young E [unité homogène à celle d'une contrainte]:

\displaystyle\sigma = E . \epsilon

avec l’allongement relatif \displaystyle\epsilon donné par la relation entre longueurs initiale et finale : \epsilon = \frac{l_{finale} - l_{initiale}}{l_{initiale}}

  • Traction / Compression


Cette contrainte est dite contrainte normale due à la force de traction. σ [Pa] est égale à l'intensité de la force F [N] divisée par l'aire S [m2] de la surface normale à cette force :

\displaystyle\sigma_{traction} = \frac{F}{S}

  • Flexion


Sous l'effet du moment de flexion M3 [N.m], la contrainte de flexion à une distance x2 [m] de la fibre neutre s'exprime en fonction du moment quadratique I3 [m^4] de la section étudiée par la relation :

\displaystyle\sigma_{flexion}= \frac{M_3 . x_2}{I_3}

avec I_3 = \int_S { x_2^2}dS , moment quadratique, qui est habituellement désigné par inertie de la section par rapport à l'axe du moment de flexion.

  • Cisaillement


\displaystyle\tau_{moy} = \frac{F_{cisaillement}}{S} = G . \gamma

avec le module de cisaillement [Pa] : G = \frac{E}{2(1+\upsilon)}

Références théoriques

Contraintes mécaniques composées

Type Commentaire Exemple
Flexion et torsion arbre de transmission
Flexion et traction vis
Flexion et compression le flambage provoque les mêmes effets poteau d'angle
Cisaillement et compression pile de pont en rivière navigable
Cisaillement et traction boulon précontraint

La poutre est généralement composée d'un matériau isotrope homogène et chargée dans son plan moyen, vertical le plus souvent. Dans ces conditions, l'ensemble des efforts extérieurs appliqué d'un côté d'une section droite quelconque se ramène à :

  • un effort longitudinal de compression ou traction : l'effort normal ;
  • un effort normal de cisaillement : l'effort tranchant ;
  • un moment fléchissant.

Ce sont les éléments de réduction des charges extérieures au droit de la section considérée.

Un cas simple est constitué par une poutre droite, horizontale, de section constante, chargée uniformément et reposant sur deux appuis simples. Si on désigne par "p" la charge linéaire et par "l" la longueur de la poutre, la détermination des éléments de reduction des efforts tient en quelques formules simples :

  • la réaction à chaque appui est une force verticale, égale à la moitié de la charge totale soit pl/2,
  • l'effort tranchant varie linéairement de +pl/2 à -pl/2 avec une valeur nulle en milieu de travée. On doit vérifier que la contrainte de cisaillement au voisinage de l'appui reste inférieure à la résistance au cisaillement du matériau
  • Le moment fléchissant est nul sur appui et maximum en milieu de travée où il vaut pl²/8. On doit vérifier que les contraintes dans la section à mi-travée ne dépassent ni la résistance à la compression, ni la résistance à la traction du matériau.

Notion de plaque

Article détaillé : Théorie des plaques.

Notes et références

  1. ↑ a  et b  M. Albigès & A. Coin, Résistance des matériaux, Éditions Eyrolles 1969
  2. ↑ Ce principe est aussi valable pour les plaques et coques, la fibre moyenne est remplacée par plan moyen
  3. ↑ Pour l'utilisateur de la structure, le mot déplacement sera le plus souvent remplacé, à juste titre pour lui, par le mot déformation.

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