Écoulement de Stokes

Écoulement de Stokes: Pour les articles homonymes, voir Stokes.

Lorsqu'un fluide visqueux s'écoule lentement en un lieu étroit ou autour d'un petit objet, les effets visqueux dominent sur les effets inertiels. Son écoulement est alors appelé écoulement de Stokes (ou écoulement rampant ; et on parle parfois de fluide de Stokes par opposition à fluide parfait). Il est en effet régi par une version simplifiée de l'équation de Navier-Stokes : l' équation de Stokes, dans laquelle les termes inertiels sont absents. Le nombre de Reynolds mesure le poids relatif des termes visqueux et inertiel dans l'équation de Navier-Stokes. L'écoulement de Stokes correspond ainsi à un faible nombre de Reynolds (beaucoup plus petit que 1).

L'équation de Stokes permet en particulier de décrire les écoulements de liquide dans les dispositifs microfluidiques. Les écoulements de Couette et de Poiseuille sont aussi décrits par cette équation.

Sommaire

1 Équation de Stokes

2 Conditions d'application

3 Propriétés des solutions de l'équation de Stokes

4 Références

5 Bibliographie

6 Articles connexes

Équation de Stokes

L'équation de Stokes, qui décrit l'écoulement d'un fluide newtonien incompressible en régime permanent et à faible nombre de Reynolds, s'écrit :

$\eta \Delta \vec{v} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p - \rho \vec{f}$ ,

où :

$\vec{v} (\vec{r})$ est la vitesse du fluide ;

$p (\vec{r})$ est la pression dans le fluide ;

$ρ$ est la masse volumique du fluide

$η$ est la viscosité dynamique du fluide;

$\vec{f}$ est une force massique s'exerçant dans le fluide (par exemple : pesanteur) ;

$\overrightarrow{\mathrm{grad}}$ et $Δ$ sont respectivement les opérateurs différentiels gradient et laplacien.

Conditions d'application

L'équation de Stokes est une forme simplifiée de l'équation de Navier-Stokes. Pour un fluide newtonien, celle-ci s'écrit :

$\rho \frac{ \partial \vec{v} }{ \partial t } + \rho \left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v} = \rho \vec{f} - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p + \eta \Delta\,\vec{v} + \left( \zeta + \frac{\eta}{3} \right) \overrightarrow{\mathrm{grad}} (\mathrm{div}\,\vec{v})$ ,

où :

$\vec{v} (\vec{r},t)$ est la vitesse du fluide ;

$p (\vec{r},t)$ est la pression dans le fluide ;

$ρ$ est la masse volumique du fluide

$η$ est la viscosité dynamique en cisaillement du fluide;

$ζ$ est la viscosité dynamique en compression du fluide;

$\vec{f}$ est une force massique s'exerçant dans le fluide (par exemple : pesanteur) ;

$t$ représente le temps ;

$\overrightarrow{\mathrm{grad}}$ , $div$ et $Δ$ sont respectivement les opérateurs différentiels gradient, divergence et laplacien.

NB : pour établir cette formule, on doit supposer que les variations spatiales de $η$ et $ζ$ sont négligeables.

Si de plus le fluide est incompressible (bonne approximation pour les liquides), alors $\text{div}\,\vec{v} = 0$ et l'équation se simplifie :

$\rho \frac{ \partial \vec{v} }{ \partial t } + \rho \left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v} = \rho \vec{f} - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p + \eta \Delta\,\vec{v}$ .

On peut évaluer l'ordre de grandeur des termes inertiels et visqueux dans cette équation. Si la vitesse caractéristique du liquide est $U$ , et si l'échelle typique de variation de la vitesse est $L$ (celle-ci pourra être imposée par les dimensions du canal dans lequel le liquide s'écoule, les dimensions de l'objet autour duquel le liquide s'écoule, etc.), alors :

$\rho \left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v} \sim \frac{\rho U^2}{L}$ et $\eta \Delta\,\vec{v} = \rho \nu \Delta\,\vec{v} \sim \frac{\rho \nu U}{L^2}$ ,

où $ν$ est la viscosité cinématique du liquide.

Le terme inertiel $\rho \left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v}$ sera donc négligeable devant le terme visqueux $\eta \Delta\,\vec{v}$ si :

$\frac{\rho U^2}{L} \ll \frac{\rho \nu U}{L^2}$ , soit $\frac{UL}{\nu} \ll 1$ ,

où l'on reconnait l'expression du nombre de Reynolds.

Propriétés des solutions de l'équation de Stokes

Contrairement à l'équation de Navier-Stokes, l'équation de Stokes est linéaire (le terme inertiel, non-linéaire, est en effet négligeable). Les écoulements solutions de cette équation possèdent par conséquent des propriétés bien particulières :

unicité : pour des conditions aux limites données (valeur de la vitesse au niveau des parois et/ou à l'infini), il existe un et un seul écoulement vérifiant l'équation de Stokes ;

additivité : les solutions de l'équation de Stokes vérifient le principe de superposition : si $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ sont solutions, alors toute combinaison linéaire $\lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2$ le sera aussi (ceci n'est pas incompatible avec la propriété d'unicité : seul l'écoulement vérifiant les bonnes conditions aux limites sera observé) ;

réversibilité : si un champ de vitesse $\vec{v}(\vec{r})$ est solution de l'équation, alors $- \vec{v}(\vec{r})$ l'est aussi, à condition de changer le signe des gradients de pression, ainsi que des vitesses aux parois et à l'infini (ceci est une conséquence directe du principe de superposition) ; cette propriété est contraire à notre intuition, fondée sur notre expérience des écoulements macroscopiques : la réversibilité des écoulements à bas nombre de Reynolds a ainsi poussé les êtres vivants de très petite taille à développer des moyens de propulsion originaux^[1].

paradoxe de Stokes : Il faut prendre garde au fait que les solutions mathématiques de l'équation de Stokes, dans un cas donné ou dans certaines régions du domaine de solution, peuvent être physiquement fausses. Ceci est dû au "paradoxe de Stokes" à savoir que les conditions physiques permettant de ramener l'équation de Navier-Stokes à l'équation de Stokes ne sont pas nécessairement réalisées dans tout le domaine de solution, a priori. On aboutit alors à des solutions présentant des comportements potentiellement aberrants dans certaines limites. C'est le cas par exemple "à l'infini" où souvent le terme inertiel finit par l'emporter sur le terme visqueux, sans qu'on puisse le préjuger a priori.

Références

↑ E.M. Purcell, «Life at low Reynolds number», Am. J. Phys. 45, p. 3-11.

Bibliographie

(en) G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics [« Introduction à la dynamique des fluides »], Cambridge University Press, 1967.

E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit, Hydrodynamique physique, CNRS Editions - EDP Sciences, 2^e éd. (1^re éd. 1991), 2001.

J. Happel et H. Brenner, Low Reynolds number hydrodynamics [«Hydrodynamique à bas nombre de Reynolds»], Prentice Hall, 1965.

Articles connexes

Écoulement laminaire

Nombre de Reynolds

Turbulence

Loi de Stokes

v · Mécanique des fluides

Fluides Fluide caloporteur • Fluide de Stokes • Fluide hydraulique • Fluide incompressible • Fluide parfait • Fluide électrorhéologique

Écoulements Écoulement complexe • Écoulement de Couette • Écoulement de Poiseuille • Écoulement incompressible • Écoulement laminaire • Écoulement torrentiel • Écoulement polyphasique

Équations Équations de Navier-Stokes • Théorème de Bernoulli •Équation de Darcy-Weisbach • Équation de Prony • Équation de Rankine-Hugoniot • Équation de Schlichting • Écoulement de Stokes • Équations d'Euler • Équation de continuité • Équations primitives atmosphériques

Nombres Nombre d'Archimède • Nombre capillaire • Nombre d'Ekman • Nombre d'Ellis • Nombre de Bond • Nombre de Bulygin • Nombre de Cameron • Nombre de Fedorov • Nombre de Froude • Nombre de Galilée • Nombre de Grashof • Nombre de Goucher • Nombre de Hartmann • Nombre de Hedström • Nombre de Hersey • Nombre de Karlovitz • Nombre de Kutateladze • Nombre de Lewis • Nombre de Mach • Nombre d'Ohnesorge • Nombre de Prandtl • Nombre de Rayleigh • Nombre de Reech • Nombre de Reynolds • Nombre de Rossby • Nombre de Rouse • Nombre de Schmidt • Nombre de Stewart • Nombre de Strouhal • Nombre de Taylor • Nombre de Weber

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Équations de Navier-Stokes

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