- Trigonométrie hyperbolique
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Fonction hyperbolique
En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms de sinus, cosinus et tangente proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (ou circulaires) et le terme de hyperbolique provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x2 − y2 = 1.
Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.
Sommaire
Histoire
Les fonctions hyperboliques ont été inventées par le jésuite Vincenzo Riccati dans les années 1760 alors qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation x2 − y2 = 1. La méthode géométrique qu'il employa alors était très similaire à celle que l'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle d'équation x2 + y2 = 1. Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus et sinus circulaires. Par analogie, il appela alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques. Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire mais aussi à toutes les formules trigonométriques. Cependant, pourtant au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle pour les définir mais seulement des considérations géométriques. L'autre grand mathématicien ayant étudié les fonctions hyperboliques est Johann Heinrich Lambert qui en fit une étude complète en 1770. Cette quasi simultanéité fait que l'on attribue parfois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques bien que les écrits de Riccati lui soient antérieurs de quelques années.
Définitions
Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :
Sinus hyperbolique
Article détaillé : Sinus hyperbolique.Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :
sinh – ou sh – est une bijection de classe de dans strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque s'appelle argument sinus hyperbolique et est notée argsh ou argsinh.
Cosinus hyperbolique
Article détaillé : Cosinus hyperbolique.
Définie comme étant la partie paire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :cosh – ou ch – est une application de dans strictement croissante sur , et paire. cosh est de classe sur et sa dérivée est le sinus hyperbolique. Sa restriction à est une bijection à valeurs dans dont l'application réciproque, argument cosinus hyperbolique, est notée argch ou argcosh.
Tangente hyperbolique
Article détaillé : Tangente hyperbolique.Définie par :
th – ou tanh – est une bijection de classe de dans ] − 1;1[ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est . Son application réciproque s'appelle argument tangente hyperbolique et est notée argth ou argtanh.
Cotangente hyperbolique
Définie par :
coth est une bijection de classe de dans . Sa dérivée est . Son application réciproque, argument cotangente hyperbolique, est notée argcoth.
Sécante hyperbolique
Définie par :
Cosécante hyperbolique
Définie par :
Tableau de variations
Les fonctions sont paires, ou impaires il suffit de les étudier sur [0,+[
x 0 + ch x 1 + sh x 0 + th x 0 +1 coth x + +1 Propriétés
Par construction,
Ainsi, la formule suivante est vraie pour tout réel x :
De même que les points (cos x, sin x) décrivent un cercle lorsque x parcourt , les points (ch x, sh x) décrivent une branche d'hyperbole ;
Le paramètre x ne peut pas être interprété comme un angle, ni comme une longueur d'arc ; les fonctions hyperboliques ne sont pas des fonctions périodiques.
La fonction ch admet 1 pour minimum, pour x = 0.
La fonction sh est impaire et ainsi sh(0) = 0.
Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations, très ressemblantes aux identités trigonométriques. En fait, la règle d'Osborne dit que l'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique en une identité hyperbolique en la développant complètement à l'aide de puissances entières de sinus et cosinus, changeant sin en sh et cos en ch, et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé.
Cela nous permet d'obtenir par exemple, les « formules d'addition » :
et des «formules d'angle moitié» :
De ces expressions on déduit les formules suivantes relatives à la tangente hyperbolique :
On a de même:
La fonction cosinus hyperbolique est convexe. Elle intervient dans la définition de la chaînette, laquelle correspond à la forme que prend un câble suspendu à ses extrémités et soumis à son propre poids.Puisque la fonction exponentielle peut être prolongée à l'ensemble des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l'ensemble des nombres complexes. Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont alors holomorphes et même entières.
De la formule d'Euler, on obtient immédiatement:
Ou encore:
Applications réciproques
Argument sinus hyperbolique
argsh – ou argsinh – est l'application réciproque de sh. C'est une bijection de dans , impaire et strictement croissante. argsh est dérivable sur et sa dérivée est . argsh admet une forme logarithmique, c’est-à-dire qu'il peut se mettre sous la forme d'un logarithme :
Argument cosinus hyperbolique
argch est l'application réciproque de la restriction de ch dans . C'est une bijection de dans , strictement croissante. argch est dérivable sur et sa dérivée est . argch admet une forme logarithmique:
Argument tangente hyperbolique
argth – ou argtanh – est l'application réciproque de th. C'est une bijection de ] − 1;1[ dans , impaire, strictement croissante. argth est dérivable sur ] − 1;1[ et sa dérivée est . argth admet une forme logarithmique :
Argument cotangente hyperbolique
argcoth est l'application réciproque de coth. C'est une bijection de dans . argcoth est dérivable sur et sa dérivée est . argcoth admet une forme logarithmique :
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
- GonioLab: Visualisée des Cercle trigonométrique, fonctions de trigonométriques et hyperboliques (Java Web Start)
- (en) Riccati pour la définition géométrique des fonctions hyperboliques
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