Trigonométrie complexe

Trigonométrie complexe

Extension des fonctions circulaires

Dans le plan des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :

\sin z = \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {2i} = \frac {\sinh iz} {i} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k+1}} {(2k+1)!}}
\cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2} = {\cosh iz} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k}} {(2k)!}}
\tan z = \frac {\sin z} {\cos z} = -i \frac {\sinh iz} {\cosh iz} = -i \tanh iz = -i \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {e^{iz} + e^{-iz}}

De même que leurs fonctions réciproques :

\arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt { 1-z^2} \right)
\arccos z = -i \ln \left( z + \sqrt {z^2-1} \right)
\arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 - iz) - \ln(1+iz) \Big)

Ces fonctions souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.


Fonctions trigonométriques d'un complexe

Voici la démonstration de la formule permettant de calculer le cosinus d'un complexe :

af + ibf = \cos{(a + i.b)} = \frac{e^{i(a + i.b)} + e^{-i(a + i.b)}} {2} = \frac{e^{i.a - b} + e^{-i.a + b}}{2} = \frac{e^{-b}.e^{i.a} + e^{b}.e^{-i.a}}{2} = \frac{e^{-b}}{2}.e^{i.a} + \frac{e^{b}}{2}.e^{-i.a}
=> r1 = \frac{e^{-b}}{2}        t1 = a                => r2 = \frac{e^{b}}{2}        t2 = − a
=> a1 = r1.\cos{t1} = \frac{e^{-b}}{2}.\cos{a}         b1 = r1.\sin{t1} = \frac{e^{-b}}{2}.\sin{a}
=> a2 = r2.\cos{t2} = \frac{e^{b}}{2}.\cos{(-a)} = \frac{e^{b}}{2}.\cos{a}         b2 = r2.\sin{t2} = \frac{e^{b}}{2}.\sin{(-a)} = -\frac{e^{b}}{2}.\sin{a}
=> af = a1 + a2 = \frac{e^{-b}}{2}.\cos{a} + \frac{e^{b}}{2}.\cos{a} = \cos{a}.[\frac{e^{-b}}{2} + \frac{e^{b}}{2}] = \cos{a}.[\frac{e^{b} + e^{-b}}{2}] = \cos{a}.\cosh{b}
=> bf = b1 + b2 = \frac{e^{-b}}{2}.\sin{a} - \frac{e^{b}}{2}.\sin{a} = \sin{a}.[\frac{e^{-b}}{2} - \frac{e^{b}}{2}] = \sin{a}.[\frac{-1.(e^{b} - e^{-b})}{2}] = -\sin{a}.\sinh{b}
= > cos (a + i.b) = cos (a).cosh (b) − i.sin (a).sinh (b)

Pour les autres fonctions trigonométriques, faire de même. Pour tan et cotan, mieux vaut utiliser leur propriété suivante :

\tan{z} = \frac{\sin{z}}{\cos{z}}        \cot{z} = \frac{\cos{z}}{\sin{z}}


Voici la démonstration pour le cosinus hyperbolique :

af + ibf = \cosh{(a + i.b)} = \frac{e^{a + i.b} + e^{-(a + i.b)}} {2} = \frac{e^{a + i.b} + e^{-a - i.b}}{2} = \frac{e^{a}.e^{i.b} + e^{-a}.e^{-i.b}}{2} = \frac{e^{a}}{2}.e^{i.b} + \frac{e^{-a}}{2}.e^{-i.b}
=> r1 = \frac{e^{a}}{2}        t1 = b                => r2 = \frac{e^{-a}}{2}        t2 = − b
=> a1 = r1.\cos{t1} = \frac{e^{a}}{2}.\cos{b}         b1 = r1.\sin{t1} = \frac{e^{a}}{2}.\sin{b}
=> a2 = r2.\cos{t2} = \frac{e^{-a}}{2}.\cos{(-b)} = \frac{e^{-a}}{2}.\cos{b}         b2 = r2.\sin{t2} = \frac{e^{-a}}{2}.\sin{(-b)} = -\frac{e^{-a}}{2}.\sin{b}
=> af = a1 + a2 = \frac{e^{a}}{2}.\cos{b} + \frac{e^{-a}}{2}.\cos{b} = [\frac{e^{a}}{2} + \frac{e^{-a}}{2}].\cos{b} = [\frac{e^{a} + e^{-a}}{2}].\cos{b} = \cosh{a}.\cos{b}
=> bf = b1 + b2 = \frac{e^{a}}{2}.\sin{b} - \frac{e^{-a}}{2}.\sin{b} = [\frac{e^{a}}{2} - \frac{e^{-a}}{2}].\sin{b} = [\frac{e^{a} - e^{-a}}{2}].\sin{b} = \sinh{a}.\sin{b}
= > cosh (a + i.b) = cosh (a).cos (b) − i.sinh (a).sin (b)

Pour les autres fonctions trigonométriques hyperboliques, faire de même. Pour tanh et cotanh, mieux vaut utiliser leur propriété suivante :

\tanh{z} = \frac{\sinh{z}}{\cosh{z}}        \coth{z} = \frac{\cosh{z}}{\sinh{z}}

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