Théorème ergodique

Théorème ergodique

Dans les systèmes dynamiques, et en particulier en théorie ergodique, de nombreux théorèmes sont appelés théorèmes ergodiques. Ils permettent de quantifier au sens de la théorie de la mesure la densité des orbites d'un système dynamique mesuré.

Sommaire

Théorème ergodique de Birkhoff

Soit :

Alors :

  • Pour toute fonction f de L1(X,μ), la suite \left(\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k(x)\right)_{n \geq 1} converge μ-presque partout.
  • De plus, en notant (lorsqu'elle existe), \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k(x)=g(x), on a :
    • g\circ T=g, μ-presque partout.
    • \|g\|_1=\|f\|_1 (g est donc dans L1(X,μ)).
    • La suite de fonctions \left(\frac1n\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^k\right)_{n\ge1} converge dans L1(X,μ) vers g.
    • Pour tout ensemble mesurable A tel que \mu\left(T^{-1}(A)\Delta A\right)=0, on a :\int_Ag(x)~\mathrm d\mu(x)= \int_Af(x)~\mathrm d\mu(x).

Corollaire

Avec les mêmes hypothèses et en supposant en plus que T soit μ-ergodique, on a :

\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k(x)=\int_Xf(t)~\mathrm d\mu(t) pour μ-presque tout x.

Remarques

  • La somme \frac1n\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x) s'appelle une moyenne de Birkhoff de f.
  • La limite \lim\nolimits_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k(x) lorsqu'elle existe s'appelle la moyenne orbitale (ou temporelle) de f.
  • L'intégrale \int_Xf(t)~\mathrm d\mu(t) est la moyenne spatiale de f.

Ainsi, le théorème dit que si μ est une mesure de probabilité pour laquelle T est ergodique, presque toutes les moyennes temporelles d'une fonction intégrable coïncident avec sa moyenne spatiale.

Quelques applications simples

Exemple 1

Soit B un ensemble mesurable non négligeable (μ(B)>0). Si T est μ-ergodique, alors pour presque tout x de X, on a :

\lim_{n\to\infty}\frac1n\operatorname{card}(\{k\in\{0,\ldots,n-1\}~|~T^k(x)\in B\})=\mu(B).

La proportion de temps que l'orbite de x passe dans B est précisément μ(B).

Exemple 2

Pour presque tout réel x de l'intervalle [0,1], le nombre moyen de zéros dans l'écriture décimale de x (c'est-à-dire que x = 0,a1a2a3... où a1 est le chiffre des dixièmes de x, a2 le chiffre des centièmes de x, etc.) est égale à 1 / 10.

Théorème ergodique de von Neumann

Soient U un opérateur unitaire sur un espace de Hilbert H, ou plus généralement une isométrie linéaire (non nécessairement surjective) et P la projection orthogonale sur le sous-espace des vecteurs fixes par U. Alors, pour tout vecteur x de H, on a[1] :

\lim_{N\to\infty}{1\over N}\sum_{n=0}^{N-1} U^nx=Px,

où la limite est au sens de la topologie de la norme sur H. Autrement dit, la suite des moyennes

\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}U^n

converge vers P pour la topologie forte des opérateurs (en).

Ce théorème s'applique en particulier au cas où l'espace de Hilbert H est l'espace L2 d'un espace mesuré \scriptstyle (X,\mathcal A,\mu) et où U est un opérateur de la forme Uf(x) = f(Tx), pour un certain endomorphisme T de X qui préserve la mesure, et qui peut être vu comme le changement d'état d'un système dynamique à temps discret[2]. Le théorème ergodique dit alors que la moyenne d'une fonction f sur un intervalle de temps assez grand est approximée par la projection orthogonale de f sur les fonctions qui restent constantes au cours du temps.

Une autre formulation de ce théorème ergodique est que si Ut est un groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs unitaires sur H, alors l'opérateur

\frac1T\int_0^T U_t~\mathrm dt

converge (pour la topologie forte des opérateurs) quand T tend vers l'infini. En fait, ce résultat s'étend à un demi-groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs non expansifs sur un espace réflexif.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Ergodic theory » (voir la liste des auteurs)

  1. ↑ (en) M. Reed (en) et B. Simon (en), Functional Analysis, San Diego, Academic Press, 1980 (ISBN 978-0-12585050-6)
  2. ↑ (en) Peter Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, New York, 1982 (ISBN 0-387-95152-0)

Voir aussi

Article connexe

Théorème d'équidistribution (en)

Lien externe

(en) George D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, Proc. NAS 17 (1931), 656-660


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