Theoreme de Liouville (Hamiltonien)

Théorème de Liouville (Hamiltonien)

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Liouville.

En physique, le théorème de Liouville, nommé d'après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi en mécanique quantique et en physique statistique. Ce théorème dit que le volume de l'espace des phases est constant le long des trajectoires du système, autrement dit ce volume reste constant dans le temps.

Sommaire

1 Équation de Liouville
- 1.1 En mécanique classique
- 1.2 En mécanique quantique
2 Théorème de Liouville
3 Notes
4 Voir aussi
5 Bibliographie

Équation de Liouville

L'équation de Liouville décrit l'évolution temporelle de la densité de probabilité $ρ$ dans l'espace des phases. Cette densité de probabilité est définie comme la probabilité pour que l'état du système soit représenté par un point à l'intérieur du volume $Γ$ considéré.

En mécanique classique

On utilise les coordonnées généralisées $(q, p)$ ^[1] où $N$ est la dimension du système. La densité de probabilité est définie par la probabilité $\rho(p,q)\,d^Nq\,d^Np$ de rencontrer l'état^[2] du système dans le volume infinitésimal $d^Nq\,d^Np$ .

Lorsqu'on calcule l'évolution temporelle cette densité de probabilité $ρ(p, q)$ , on obtient :

$\frac{d \rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial \rho }{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial \rho }{\partial p_{i}}\dot{p}_{i}\right] = 0$

On utilise alors les équations canoniques de Hamilton, en les remplaçant dans l'équation précédente :

$\dot{q}_i \ = \ \frac{\partial H}{\partial p_i} \quad ; \qquad \dot{p}_i \ = \ - \frac{\partial H}{\partial q_i}$

d'où :

$\frac{\partial}{\partial t}\rho(p,q,t)=-\{\,\rho(p,q,t) ,H\,\}=\{\,H,\rho(p,q,t)\,\}$

en utilisant les crochets de Poisson.

Démonstration

On considère l'équation de continuité d'un système conservatif :

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0$

or le second terme vaut^[3] :

$\begin{align} f\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right) &= \frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\rho\frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i+\rho\frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} \\ \ & = \frac{\partial \rho}{\partial q_i}\dot{q_i} + \frac{\partial \rho}{\partial p_i}\dot{p_i} +\rho\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\partial p_i}- \rho\frac{\partial^2 H}{\partial p_i\partial q_i} \end{align}$

On obtient bien :
$\frac{d \rho }{dt}=0$

En mécanique quantique

D'après le principe de correspondance, on peut rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique :

$\frac{1}{i\hbar} [\hat H,\hat A(t)] = \left\{ \hat H,\hat A \right\} + O(\hbar^2)$

d'où on déduit :

$\frac{\partial}{\partial t}\hat \rho=\frac{i}{\hbar}[\hat\rho,\hat H]$

Ici, $\hat H$ est l'opérateur hamiltonien et $ρ$ la matrice densité. Parfois cette équation est aussi nommée l'équation de Von Neumann.

Théorème de Liouville

De l'équation de Liouville, on peut prouver le théorème de Liouville, qui peut se formuler comme :

Théorème de Liouville — La fonction de distribution est constante le long de n'importe quelle trajectoire de l'espace des phases

ou bien :

Théorème de Liouville — Le volume d'une région de l'espace des phases reste constant lorqu'on suit cette région dans le temps

On peut montrer que le volume $Γ$ est constant :

$\frac{d\Gamma}{dt} = 0$

Démonstration

$\frac{d\Gamma}{dt} = \iint \vec dS.\vec v$

où $\vec v$ est le vecteur vitesse et $\vec S$ un vecteur surface de $Γ$
et à l'aide du théorème de Green-Ostrogradski, on trouve

$\frac{d\Gamma}{dt} = \iint \vec dS.\vec v = \iiint d\Gamma \nabla \vec v = 0$

car divergence du vecteur vitesse est nul^[4].

Notes

↑ $q = q 1,..., q N$ et $p = p 1,..., p N$ .
↑ Un état est défini par l'ensemble des coordonnées généralisées $q i$ et $q i$ .
↑ d'après les équations canoniques de Hamilton.
↑ voir démonstration précédente

Voir aussi

Bibliographie

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]

Portail de la physique

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Liouville (Hamiltonien) ».

Catégories : Mécanique classique | Mécanique quantique | Physique statistique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme de Liouville (Hamiltonien) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

Théorème de liouville (hamiltonien) — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Liouville. En physique, le théorème de Liouville, nommé d après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi en… … Wikipédia en Français
Théorème de Liouville (Hamiltonien) — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Liouville. En physique, le théorème de Liouville, nommé d après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi en… … Wikipédia en Français
Theoreme d'Ehrenfest — Théorème d Ehrenfest Cet article fait partie de la série Mécanique quantique Postulats de la mécanique quantique Histoire de … Wikipédia en Français
Théorème d'Ehrenfest — Le théorème d Ehrenfest, du nom du physicien Paul Ehrenfest, relie la dérivée temporelle de la valeur moyenne d un opérateur quantique au commutateur de cet opérateur avec le hamiltonien du système. Sommaire 1 Théorème 2 Relations d Ehrenfest … Wikipédia en Français
Équation de Liouville — Pour l équation de Liouville dans les systèmes dynamiques, voir Théorème de Liouville (Hamiltonien). En géométrie différentielle, l’équation de Liouville, du nom du mathématicien français Joseph Liouville, est une équation aux dérivées partielles … Wikipédia en Français
Principe de Hamilton — Principe variationnel Un principe variationnel est un principe physique issu d un problème exprimé sous une forme variationnelle. Dans de nombreux cas, la résolution des équations de la mécanique peut se ramener à la recherche de géodésiques dans … Wikipédia en Français
Principe de moindre action de Lagrange — Principe variationnel Un principe variationnel est un principe physique issu d un problème exprimé sous une forme variationnelle. Dans de nombreux cas, la résolution des équations de la mécanique peut se ramener à la recherche de géodésiques dans … Wikipédia en Français
Principe variationnel — Un principe variationnel est un principe physique issu d un problème exprimé sous une forme variationnelle. Dans de nombreux cas, la résolution des équations de la mécanique peut se ramener à la recherche de géodésiques dans un espace général… … Wikipédia en Français
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Geometrie symplectique — Géométrie symplectique La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d une formulation mathématique naturelle à la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la géométrie différentielle et des… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Theoreme de Liouville (Hamiltonien)

Théorème de Liouville (Hamiltonien)

Sommaire