- Demi-groupe
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En mathématiques, un demi-groupe est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d'une loi de composition interne associative. Par définition il s'agit donc d'un magma associatif. Il est dit commutatif si sa loi est de plus commutative.
Un monoïde est un demi-groupe unifère c'est-à-dire possédant un élément neutre[1] ; un semi-groupe est un monoïde dont tous les éléments sont réguliers.
Une certaine confusion règne dans la terminologie et provient, en partie du moins, du fait qu'en anglais l'équivalent de demi-groupe est semigroup et celui de semi-groupe est cancellative monoid. De plus, les analystes parlent de semi-groupes d'opérateurs même s'il s'agit plutôt de demi-groupes du point de vue algébrique.
Sommaire
Exemples
- L'ensemble vide.
- Tout groupe (puisque c'est même un semi-groupe).
- Tout pseudo-anneau est un demi-groupe pour la multiplication.
- Tout ensemble ordonné dans lequel toute paire d'éléments possède une borne inférieure interprétée comme le produit de ces deux éléments, on obtient ainsi un demi-groupe commutatif dont tout élément est idempotent. La réciproque est vraie : soit S un tel demi-groupe et posons aRb si a.b = a, alors S est partiellement ordonné par R et toute paire d'éléments possède une borne inférieure.
Sous-demi-groupe
Un sous-demi-groupe d'un demi-groupe S est un sous-ensemble de S fermé sous l'opération de S.
Ainsi l'ensemble N des nombres naturels, muni de la multiplication, est un demi-groupe commutatif dont l'ensemble 2N des nombres pairs est un sous-demi-groupe : à noter que N est un monoïde avec neutre 1 alors que 2N n'est qu'un demi-groupe.
Un sous-demi-groupe d'un monoïde M peut être un monoïde sans être un sous-monoïde de M. Par exemple, si M est le monoïde formé par l'ensemble Z/6Z muni de sa multiplication, les classes résiduelles des nombres pairs forment un sous-demi-groupe D de M et on vérifie facilement que la classe résiduelle de 4 est élément neutre de ce sous-demi-groupe. Pourtant, D n'est pas un sous-monoïde de M, car l'élément neutre de M (la classe résiduelle de 1) n'appartient pas à D.
Inverses
Il existe dans les demi-groupes une notion de pseudoinverse (à comparer avec celle de matrice pseudoinverse) et une notion d'inverse (nécessairement différente de celle d'« inverse » au sens d'élément symétrique dans les groupes, puisqu'un demi-groupe ne possède pas nécessairement d'élément neutre) ; (voir aussi Inverse (homonymie)) :
- x est un pseudoinverse[2] de a si axa = a.
- b est un inverse de a si aba = a et bab = b.
Tout inverse est évidemment un pseudoinverse. Réciproquement, si x est un pseudoinverse de a alors[3] b=xax est un inverse de a, puisque aba = a(xax)a = (axa)(xa) = a(xa) = a et bab = (xax)ab = x(axa)b = (xa)(xax) = x(axa)x = xax = b.
Un demi-groupe régulier (en) est un demi-groupe dans lequel tout élément admet au moins un pseudoinverse ou (ce qui, d'après ce qui précède, est équivalent) au moins un inverse. (Ne pas confondre avec la notion de « régulier » au sens de « simplifiable », comme dans un semi-groupe.)
Un demi-groupe inverse (en) est un demi-groupe dans lequel tout élément admet un unique inverse.
Références
- Cette définition est conforme à N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, vol. I, Paris, édition de 1970, ch. I, § 2, n° 1, déf. 2, p. I.12. Dans l'édition de 1964, « monoïde » avait un sens différent.
- (en) Mati Kilp, Ulrich Knauer et Alexander V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000 (ISBN 978-3-11-015248-7), p. 33
- (en) Alfred H. Clifford (en) et Gordon Preston (en), The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, Mathematical Surveys of the American Mathematical Society, No. 7, Providence, R.I., 1961, Lemma 1.14
Article connexe
Classes particulières de demi-groupes (en)
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