Théorème de récurrence

Théorème de récurrence

Théorème de récurrence de Poincaré

Le théorème de récurrence de Poincaré (1890) dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

Sommaire

Énoncé moderne

Système dynamique

Soit un système dynamique au sens de la théorie ergodique, c’est-à-dire un triplet (X,μ,φ) où :

  • \phi : X \to X est une application préservant la mesure μ, c’est-à-dire telle que :
\forall \ A \subset X \ , \quad (\mu \circ \phi^{-1}) (A) \ = \ \mu \left[ \phi^{-1} (A)\right] \ = \ \mu(A)

Récurrence d'un point

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable. Un point x \in A est dit récurrent par rapport à A si et seulement s'il existe un entier k \ge 1 pour lequel :

\phi^k(x) \ \in \ A

Théorème de récurrence de Poincaré

Énoncé

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable. Alors, presque tous les points x_0 \in A sont récurrents par rapport à A.

Démonstration

Pour tout p positif, on peut définir l'ensemble :

U_p \ = \ \phi^p(A) \ \cup \ \phi^{p+1}(A) \ \cup \ \dots \ \cup \ \phi^k(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=p}^{+\infty} \ \phi^k(A)

Comme sous-ensemble mesurable de X, il vérifie :

\mu(U_p) \ \le \ \mu(X) \ < \ + \ \infty

Ces ensembles Up sont tous des sous-ensembles de l'ensemble U0 correspondant au cas particulier p = 0 :

\forall \, p \, > \, 0, \quad U_p \ \subset \ U_0

où :

U_0 \ = \ A \ \cup \ \phi(A) \ \cup \ \dots \ \cup \ \phi^k(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=0}^{+\infty} \ \phi^k(A)

En remarquant qu'on peut écrire :

U_0 \ = \ \phi^{- \, p}(U_p)

on en déduit que :

\mu(U_0) \ = \ \mu(\phi^{- \, p}(U_p)) \ = \ \mu(U_p)


la deuxième égalité résultant de la conservation de la mesure. Les sous-ensembles Up possèdent donc tous la même mesure que l'ensemble U0 ; on en déduit que le complémentaire à Up dans U0 est de mesure nulle :

\mu(U_0 \backslash U_p) \ = \ 0

Comme A \subset U_0 , l'ensemble des points x de A qui ne retournent pas dans A après k \ge p est donc de mesure nulle :

\mu \left( \ \left\{ \ x \in A \quad \mathrm{et} \quad x \notin U_p \ \right\} \ \right) \ = \ 0

Articles connexes

Bibliographie

  • Henri Poincaré ; Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Mathamatica 13 (1890), 1-270. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques[1]. L'histoire de ce mémoire est célèbre ; lire e.g. : June Barrow-Green ; Poincaré & the three-body problem, History of Mathematics (Vol. 11), American Mathematical Society & London Mathematical Society (1997).

Notes

  1. ↑ Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de r%C3%A9currence de Poincar%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de récurrence de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de recurrence de Poincare — Théorème de récurrence de Poincaré Le théorème de récurrence de Poincaré (1890) dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l espace des phases est de « volume » fini va… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de récurrence de poincaré — Le théorème de récurrence de Poincaré (1890) dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de récurrence de Poincaré — Le théorème de récurrence de Poincaré (1890) dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Kronecker — Théorème de Kronecker Leopold Kronecker En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, le théorème de Kronecker traite des groupes abéliens finis. Le théorème de Kronecker est aussi appelé théorème fondamental des groupes abéliens finis.… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de kronecker — Leopold Kronecker En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, le théorème de Kronecker traite des groupes abéliens finis. Le théorème de Kronecker est aussi appelé théorème fondamental des groupes abéliens finis. Il stipule que tout… …   Wikipédia en Français

  • Recurrence — Récurrence Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Kronecker — Cet article concerne la structure des groupes abéliens finis. Pour d autres notions ou résultats portant le nom de Kronecker, voir Leopold Kronecker. Leopold Kronecker En a …   Wikipédia en Français

  • Théorème H — Le théorème H est un théorème démontré par Boltzmann en 1872 dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, lorsqu un gaz hors d équilibre vérifie son équation. Selon ce théorème, il existe une certaine grandeur H(t) qui varie de façon monotone… …   Wikipédia en Français

  • Récurrence et transience d'une chaîne de Markov — Un état d une chaîne de Markov est dit récurrent si une trajectoire « typique » de la chaîne de Markov passe par une infinité de fois, sinon l état est dit transient. Ces propriétés de transience ou de récurrence sont souvent partagées… …   Wikipédia en Français

  • Récurrence — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « récurrence », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) « récurrent », sur le… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”