Théorème du sandwich au jambon

Théorème du sandwich au jambon
Le théorème du sandwich au jambon annonce l'existence d'un plan qui coupe chacun des trois solides en deux parties de volumes égaux.

En mathématiques, le théorème du sandwich au jambon en dimension trois s'exprime de façon imagée en disant qu'on peut couper en quantités égales, d'un seul coup de couteau, le jambon, le fromage et le pain d'un sandwich[1]. Il se formalise et se généralise en dimension quelconque. Ce théorème, qu'Hugo Steinhaus avait conjecturé dans le Scottish Book, a été aussitôt démontré en 1938 par Stefan Banach à l'aide du théorème de Borsuk-Ulam[2].

Énoncé

Étant données n parties[3] Lebesgue-mesurables et de mesures finies d'un espace euclidien de dimension n, il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales[1].

Démonstration

Soient {}^{A_1,\ldots,A_n} les n parties {}^{\R^n}, de mesures finies {}^{V_1,\ldots, V_n}, que l'on souhaite couper en deux parties d'égale mesure (en dimension n = 3, la figure illustre la preuve, avec pour {}^{A_1,A_2,A_3}, des solides de Platon en orange et rouge).

Ayant fixé un vecteur x de la sphère Sn − 1, on considère, pour tout réel t, l'hyperplan affine orthogonal à x passant par tx, et le demi-espace délimité par cet hyperplan et contenant (t + 1)x. Le volume Vi(t,x) de l'intersection de Ai et de ce demi-espace est une fonction continue de (t,x) et vérifie :

V_i(-t,-x)=V_i-V_i(t,x).~

Comme de plus {}^{t\mapsto V_1(t,x)} est une fonction décroissante de t, qui tend vers 0 quand t tend vers {}^{+\infty} et vers V1 quand t tend vers {}^{-\infty}, l'ensemble des réels t tels que V1(t,x) = V1 / 2 est un segment non vide [t'(x),t''(x)] qui vérifie [t'( − x),t''( − x)] = [ − t''(x), − t'(x)]. Son milieu {}^{t(x)=\frac{t'(x)+t''(x)}2} est donc une fonction continue impaire de x vérifiant V1(t(x),x) = V1 / 2 pour toute direction x.

Par composition, la fonction

f:S^{n-1}\to\R^{n-1}, x\mapsto (V_2(t(x),x),\dots,V_n(t(x),x))

est également continue. On peut donc lui appliquer le théorème de Borsuk-Ulam, ce qui fournit une direction x telle que f(x) = f( − x). Pour un tel x, l'hyperplan orthogonal à x et passant par t(x)x coupe les Ai pour {}^{i=2,\ldots,n} en deux morceaux de même mesure car

V_i(t(x),x)=V_i(t(-x),-x)=V_i(-t(x),-x)=V_i-V_i(t(x),x).~

Ainsi, Vi(t(x),x) = Vi / 2 est vrai pour {}^{i=2,\ldots,n} par choix de x et pour i = 1 par définition de t(x). Ceci achève la preuve.

Notes et références

  1. ↑ a et b (en) Jiří Matoušek (de), Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer, 2003 (ISBN 978-3-54000362-5), p. 47 
  2. ↑ (en) W. A. Beyer et Andrew Zardecki, « The early history of the ham sandwich theorem », dans Amer. Math. Monthly, vol. 111, 2004, p. 58–61 
  3. ↑ Les n parties ne sont pas supposées connexes : dans le sandwich, les deux tranches de pain constituent une partie.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème du sandwich au jambon de Wikipédia en français (auteurs)

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