Théorème des quatre carrés de Lagrange

Le théorème des quatre carrés de Lagrange, est également connu sous le nom de conjecture de Bachet ; il a été énoncé pour la première fois par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac en 1621, dans les notes accompagnant sa traduction en latin du Diophante. C'est un cas particulier du Problème de Waring. Démontré en 1770 par le mathématicien français Joseph Louis Lagrange, il correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les techniques de l'arithmétique modulaire. Il s'énonce de la façon suivante :

Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme d'au plus quatre carrés.

Plus formellement, pour tout entier positif n, il existe des entiers positifs a, b, c, d tels que :

$n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2\,\!$

Le mathématicien français Adrien-Marie Legendre améliora le théorème en 1798 en affirmant qu'un entier positif peut être exprimé comme la somme d'au plus trois carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme

$4^{k}(8m + 7)\,\!$ .

Sa démonstration était incomplète, laissant une brèche qui fut comblée plus tard par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Le théorème des quatre carrés de Lagrange est un cas particulier du théorème du nombre polygonal de Fermat (en) et du problème de Waring.

La démonstration du théorème repose (en partie) sur l'identité des quatre carrés d'Euler :

$\begin{array}{rcl} (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + t_1^2)(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 + t_2^2)& = & (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 + t_1t_2)^2\\ & & \quad + (x_1y_2 - y_1x_2 + t_1z_2 - z_1t_2)^2 \\ & & \quad\quad + (x_1z_2 - z_1x_2 + y_1t_2 - t_1y_2)^2 \\ & & \quad\quad\quad + (x_1t_2 - t_1x_2 + z_1y_2 - y_1z_2)^2 \end{array}$

Sommaire

1 Démonstration basée sur les quaternions de Hurwitz
2 Fonctions arithmétiques
3 Articles connexes

Démonstration basée sur les quaternions de Hurwitz

Nous allons travailler sur l'ensemble des quaternions de Hurwitz, également appelés entiers de Hurwitz, qui sont des quaternions particuliers.

Quelques propriétés

Les entiers de Hurwitz

Les entiers de Hurwitz sont les nombres de la forme : $a .(1 + i + j + k) / 2 + b . i + c . j + d . k$ avec $(a,b,c,d) \in \mathbb{Z}^4$ . Avec $h = (1 + i + j + k) / 2$ , on peut écrire l’ensemble des entiers de Hurwitz sous la forme $\mathbb{Z} [h,i,j,k]$

On a alors la somme et le produit des deux entiers de Hurwitz est un entier de Hurwitz (les entiers de Hurwitz forment un sous anneau de l'anneau formé par l'ensemble des quaternions, l'addition et la multiplication usuelles).

On rappelle que la norme d’un quaternion (et donc d’un entier de Hurwitz) de la forme $α = a + b . i + c . j + d . k$ est $\|\alpha\|^2=a^2+ b^2+ c^2+ d^2$

Il existe donc 24 nombres unités : 8 formés par $\pm 1 ; \pm i ; \pm j ; \pm k$ et 16 formés par $(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)/2$

Identité des quatre carrés d’Euler

On démontre que si deux nombres s’écrivent sous forme de somme de quatre carrés, alors leur produit s’écrit aussi sous forme de somme de quatre carrés. On peut le démontrer, soit à partir de l’identité des quatre carrés d'Euler, soit en écrivant que la norme d’un produit est le produit des normes.

Division

Les entiers de Hurwitz obéissent à la propriété de la division selon laquelle, de la même manière qu’avec la division euclidienne :

Si a et b sont des entiers de Hurwitz, b non nul, il existe un quotient q et un reste r tel que :

a=b.q+r avec $\| r\|<\|q\|$ , q et r étant des entiers de Hurwitz.

Les quaternions de Hurwitz forment donc un anneau euclidien à gauche et à droite.

Par exemple :

$\| (2+3i) \|^2=13 ; \| (1+i) \|^2=2 ; \| (2+i+j) \|^2=6 ; \| (1-j-k) \|^2=3$

Comme $2 + 3 i = (1 + i).(2 + i + j) + (1 - j - k)$ ,

2+3i divisé par 1+i admet comme couple (quotient,reste) le couple (2+i+j,1-j-k) Ce couple n’est pas unique puisque cette division admet aussi le couple (2+i+k,1+j-k)

On dira que a divise b (ou que a admet comme diviseur b) s’il existe q tel que a = b.q. q est alors unique.

Entier de Hurwitz premier

Un entier de Hurwitz p est premier s’il n’admet comme diviseur que les nombre unités et p fois les nombres unités.

Or, si a divise b, $\|a\|$ divise $\|b\|$ . Donc si $\|x\|^2$ est premier, il ne peut exister d’entier divisant x ayant une norme différente de 1 ou de $\|x\|$ , donc x est un nombre de Hurwitz premier.

1+i est, par exemple, un entier de Hurwitz premier, car $\|1+i\|^2=2$ est premier.

Algorithme d’Euclide

On peut définir un algorithme d’Euclide dans $\mathbb{Z} [h,i,j,k]$ , de la même manière que dans $\mathbb{N}$ .

On peut ainsi trouver un plus grand diviseur commun à a et b (noté pgcd(a ,b)), c'est-à-dire celui ayant la plus grande norme. En toute rigueur, étant donné la non commutativité de cet ensemble, on doit définir un plus grand diviseur commun à droite, et un plus grand diviseur commun à gauche.

De même que dans $\mathbb{N}$ , on peut alors trouver u et v tels que pgcd(a,b)=a.u+b.v, avec u et v des entiers de Hurwitz.

Propriété de la division d’un produit par un entier réel de Hurwitz premier

Si p est un entier réel de Hurwitz premier (c'est-à-dire un nombre premier appartenant à $\mathbb{N}$ ) , et qui divise a.b, où a et b sont des entiers de Hurwitz, alors p divise a ou p divise b.

Preuve

Supposons que p premier divise a.b mais ne divise pas a. Alors, un pgcd de a et p est 1, et il existe u et v tels que au+pv=1.

Alors en multipliant par b de chaque côté, on obtient bau+bpv=b. p divise ab donc bau, et p divise p donc bpv (comme p appartient à $\mathbb{N}$ , p commute avec les quaternions) .

Donc p divise b.

Théorème et lemme préliminaires

Tout d’abord, remarquons que 0, 1 et 2 peuvent s’écrire sous forme de somme de 4 carrés ( $0 = 0 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2;1 = 1 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2$ et $2 = 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2$ ).

Théorème

Tout entier premier de $\mathbb{N}$ qui n’est pas un entier de Hurwitz premier peut s’écrire sous forme de somme de quatre carrés.

Preuve

Soit p remplissant les conditions précédentes. On peut donc écrire p sous la forme $p = (a + b i + c j + d k)γ$ , avec $\|\gamma\|\ne 1$ et $\|\gamma\|\ne p$

On a alors le conjugué de p (égal à p puisque p appartient à $\mathbb{N}$ ) : $\bar p =p=\bar \gamma.(a-bi-cj-dk)$

Alors $\|p\|^2=p\bar p=(a+bi+cj+dk).\gamma. \bar \gamma .(a-bi-cj-dk)$

$\|p\|^2=(a+bi+cj+dk). (a-bi-cj-dk). \gamma. \bar{\gamma}$ car $\gamma. \bar{\gamma}=\|\gamma\|^2 \in \mathbb{N}$

Étant donné que p est premier, la seule décomposition de $p 2$ est donc $p . p$ . On en déduit que $(a 2 + b 2 + c 2 + d 2) = p$ .

Si a, b, c et d sont des entiers, p s’écrit comme somme de quatre carrés.

Si ce sont des demis-entiers, on peut alors trouver w tel que :

$w=(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)/2$ et $a + b i + c j + d k = w + a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k$ avec $a 1, b 1, c 1$ et $d 1$ des entiers pairs. On remarque que $\|w\|=1$

On a alors :

$p = (a + b i + c j + d k)(a - b i - c j - d k)$

$p=( w + a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k)( \bar w + a_1 - b_1 i - c_1 j - d_1 k)$

$p=( w + a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k) \bar w w( \bar w + a_1 - b_1 i - c_1 j - d_1 k)$

Or comme $a 1, b 1, c 1$ et $d 1$ sont des entiers pairs, $( w+a_1 +b_1 i+c_1 j+d_1 k). \bar w$ ne donnera que des entiers et sera donc de la forme A+Bi+Cj+Dk, avec A, B, C et D des entiers. De même pour son conjugué, d’où : $p = (A + B i + C j + D k)(A - B i - C j - D k) = A 2 + B 2 + C 2 + D 2$

Donc p s’écrit comme somme de quatre carrés.

Lemme

Soit p un entier premier impair, alors il existe l et m tels que p divise $1 + l 2 + m 2$ (p, l et m appartenant à $\mathbb{N}$ )

Preuve

Soit p premier impair. Les différentes classes de congruence modulo p sont 0, 1, -1, ..., (p-1)/2, -(p-1)/2. Il y en a donc p.

$a^2 \equiv b^2$ est équivalent à ( a $\equiv$ b ou a $\equiv$ –b ) (modulo p). Les différents carrés modulo p sont donc $02,1 2,...,((p - 1) / 2) 2$ . Il y en a donc $1 + (p - 1) / 2 = (p + 1) / 2$ .

De même pour $- 1 - m 2$ , il y a $(p + 1) / 2$ éléments qui sont de cette forme, différents, modulo p. Supposons que ces deux ensembles soient disjoints. Alors il y aurait $(p + 1) / 2 + (p + 1) / 2 = p + 1$ éléments dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , ce qui est faux puisqu’il y en a p. Donc au moins un élément est simultanément de la forme $l 2$ et de la forme $- 1 - m 2$ modulo p, donc il existe l et m tel que $l^2 \equiv -1-m^2$ modulo p c'est-à-dire $1+l^2+m^2 \equiv 0$ modulo p.

Il existe donc l et m tel que p divise $1 + l 2 + m 2$ .

Théorème des quatre carrés

Tout entier de $\mathbb{N}$ peut s’écrire sous forme de somme de quatre carrés.

Preuve

Soit p un entier impair premier. Il existe donc d’après le lemme précédant l et m entier tel que p divise $1 + l 2 + m 2$ . Donc p divise $1 + l 2 + m 2 = (1 + l i + m j)(1 - l i - m j)$ .

Supposons que p soit un entier de Hurwitz premier. Alors d’après un théorème précédant, p divise $1 + l i + m j$ ou p divise $1 - l i - m j$ . Or, ni $\frac{1}{p}+\frac{li}{p}+\frac{mj}{p}$ ni $\frac{1}{p}-\frac{li}{p}-\frac{mj}{p}$ ne sont des entiers de Hurwitz. Donc p n’est pas un entier de Hurwitz premier.

D’après le théorème précédant, p peut donc s’écrire sous forme de somme de quatre carrés.

Donc, si p est un entier impair premier, p peut donc s’écrire sous forme de somme de quatre carrés.

Si p=0, p=1 ou p=2, nous avons déjà vu que p peut s’écrire sous forme de somme de quatre carrés.

Si p est un entier, non premier, strictement supérieur à 2, alors p peut s’écrire sous forme de produit de nombre premiers. Ces nombres premiers peuvent s’écrire sous forme de carrés, et leur produits aussi, d’après la remarque sur l’identité des quatre carrés d’Euler. Donc p peut s’écrire sous forme de somme de quatre carrés.

Finalement, tout élément de $\mathbb{N}$ peut s’écrire sous forme de somme de quatre carrés.

Fonctions arithmétiques

Les fonctions arithmétiques permettent d'obtenir des résultats plus généraux. Si on pose $r 4 (n)$ comme étant le nombre de façon de décomposer $n$ sous forme d'une somme de 4 carrés, on obtient le résultat suivant:

$\sum_{n=0}^{\infty}{r_4(n)x^n} = \left( \sum_{n=0}^{\infty}{x^{n^2}} \right)^4$ , pour

| x | < 1

Moyennant l'utilisation des séries de Lambert, on en déduit le théorème suivant, dit théorème de Jacobi :

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \ r_4(n) = 8 \sum_{d|n, d \not\equiv 0[4]}{d}$

Par exemple, 1 n'est divisible que par lui-même, qui n'est pas congru à 0 modulo 4. Donc $r 4 (1) = 8$

3 des 8 formes sont :

$1 = 1 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2$

$1 = 0 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2$

$1 = ( - 1) 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2$

Articles connexes

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Théorème d'algèbre
Joseph-Louis Lagrange
Arithmétique modulaire
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