- Théorème de Fubini
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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres.
Sommaire
Énoncés
Théorème de Fubini-Tonelli (it)[1] — Soient
et 
deux espaces mesurés tels que les deux mesures soient σ-finies et soit 
l'espace mesurable produit muni de la mesure produit. Si![f:X\times Y\rightarrow[0,+\infty]](0/5e0c29d49e6f83176391f8730cd13d95.png)
-mesurable, alors les applications
sont respectivement
- et 
-mesurables et![\int_{X\times Y}f(x,y)~\mathrm d(\mu\times\nu)(x,y)=\int_X\left[\int_Y f(x,y)~\mathrm d\nu(y)\right]~\mathrm d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X f(x,y)~\mathrm d\mu(x)\right]~\mathrm d\nu(y).](0/8e08592962baaff71eb854818110418b.png)
Théorème de Fubini-Lebesgue[2] — Soient
et deux espaces mesurés complets (non nécessairement σ-finis) et 
l'espace mesurable produit muni d'une mesure produit ζ. Si
est ζ-intégrable, alors les fonctions
(définies presque partout) sont respectivement μ- et ν-intégrables et
![\int_{X\times Y}f(x,y)~\mathrm d\zeta(x,y)=\int_X\left[\int_Y f(x,y)~\mathrm d\nu(y)\right]~\mathrm d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X f(x,y)~\mathrm d\mu(x)\right]~\mathrm d\nu(y).](8/fa8b603c2857d7681239e4df0f0be28f.png)
Le premier théorème est faux si on ne suppose pas les mesures σ-finies.
Dans le cas particulier où l'un des deux espaces est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve respectivement le théorème de convergence monotone et le corollaire du théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions.
Mise en œuvre
Lorsque les deux mesures sont σ-finies, l'utilisation combinée de ces deux théorèmes permet souvent de démontrer qu'une fonction mesurable est intégrable. En effet, pour
mesurable, on peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli à | f | , ce qui donne![\int_{X\times Y}|f(x,y)|~\mathrm d(\mu\times\nu)(x,y)=\int_X\left[\int_Y|f(x,y)|~\mathrm d\nu(y)\right]~\mathrm d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X|f(x,y)|~\mathrm d\mu(x)\right]~\mathrm d\nu(y).](6/a764a895504572e2fa3ebc37dcc58cb0.png)
donc si l'une des intégrales est finie, alors toutes trois le sont et f est intégrable, et on a de plus d'après le théorème de Fubini-Lebesgue
![\int_{X\times Y}f(x,y)~\mathrm d(\mu\times\nu)(x,y)=\int_X\left[\int_Y f(x,y)~\mathrm d\nu(y)\right]~\mathrm d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X f(x,y)~\mathrm d\mu(x)\right]~\mathrm d\nu(y),](5/f45c4714ece00c2c083e1cb951a237cd.png)
ce qui facilite le calcul de l'intégrale.
Applications
- Le produit de convolution de deux fonctions intégrables est lui-même intégrable.
- Calcul de l'intégrale de Gauss,
.
Contre-exemples
Si f n'est pas intégrable
Considérons
On a
Détails de calculEn intégrant tout d'abord par rapport à y :
Puis
En échangeant les rôles de x et y, on obtient
Le théorème de Fubini ne s'applique pas ici. En effet, la fonction considérée ici n'est pas intégrable :
Détails de calculCas d'une mesure non sigma-finie
Considérons l'ensemble I = [0,1]. Munissons-le d'une part de la tribu borélienne
et de la mesure de Lebesgue λ et d'autre part de la tribu disctète 
et de la mesure de comptage m.La diagonale
![\scriptstyle\Delta=\{(x,x)\mid x\in[0,1]\}](0/970679f9bd86dd26f679150458e788ac.png)
est un fermé de I2, donc
La fonction indicatrice 1Δ est donc mesurable sur l'espace produit considéré.
Mais on a d'une part :
et d'autre part :
Ces deux intégrales sont distinctes, donc :
- le théorème de Fubini-Tonelli ne s'applique pas ici. Ceci s'explique car la mesure de comptage m sur I = [0,1] n'est pas σ-finie, car toute réunion dénombrable d'ensembles de m-mesures finies, c'est-à-dire d'ensembles finis, est au plus dénombrable donc différente de [0,1].
- le théorème de Fubini-Lebesgue ne s'applique pas non plus, ce qui prouve que Δ est de mesure infinie pour toute mesure produit de λ par m.
Notes et références
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
- (en) Emmanuele DiBenedetto, Real analysis, Springer, 2002, p. 147
Catégories :- Théorie de l'intégration
- Théorème d'analyse
![\int_{[0,1]^2}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}~\mathrm d(x,y).](d/ccd0f4e8910d58c26ef37216df4aa708.png)
![\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}~\mathrm dy=\left[\frac y{x^2+y^2}\right]_{y=0}^1=\frac1{1+x^2}.](a/35ae3cc4ab1780e4fa4d77aab4090889.png)
![\int_0^1\frac1{1+x^2}~\mathrm dx=\left[\arctan(x)\right]_0^1=\frac\pi4.](a/c7a5129aef7257768fd6a2ab6aec7624.png)
![\begin{align}\int_0^1\int_0^1\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|~\mathrm dy~\mathrm dx
&\ge\int_0^1\left[\int_0^x\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}~\mathrm dy\right]~\mathrm dx\\
&=\int_0^1\left[\frac y{x^2+y^2}\right]_{y=0}^x~\mathrm dx\\
&=\int_0^1\frac1{2x}~\mathrm dx\\
&=+\infty.\end{align}](b/41bcd541ca196a3d040e52c33906d37a.png)
![\int_I\left[\int_I{\mathbf1}_\Delta(x,y)~\mathrm dm(y)\right]~\mathrm d\lambda(x)=\int_I\left[\int_I{\mathbf1}_{\{x\}}(y)~\mathrm dm(y)\right]~\mathrm d\lambda(x)=\int_Im(\{x\})~\mathrm d\lambda(y)=\lambda(I)=1](4/3344e4c6b00eb3d5f64dcb3742042b3c.png)
![\int_I\left[\int_I{\mathbf1}_\Delta(x,y)~\mathrm d\lambda(x)\right]~\mathrm dm(y)=\int_I\left[\int_I{\mathbf1}_{\{y\}}(x)~\mathrm d\lambda(x)\right]~\mathrm dm(y)=\int_I\lambda(\{x\})~\mathrm dm(y)=\int_I0~\mathrm dm(y)=0.](e/3ee70f1cba4c01e38981150774d69a72.png)
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