Tribu produit

Tribu produit

Sommaire

Définition

Étant donnés deux espaces mesurables \scriptstyle(\Omega_1,\mathcal T_1) et \scriptstyle(\Omega_2,\mathcal T_2), la tribu produit, notée \scriptstyle\mathcal T_1\times\mathcal T_2, permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit \scriptstyle\Omega_1\times\Omega_2 ; elle est définie de la façon suivante :

  • \scriptstyle\mathcal T_1\times\mathcal T_2 est la tribu engendrée par les pavés mesurables \scriptstyle R=R_1\times R_2 où \scriptstyle R_1\in \mathcal T_1, R_2\in\mathcal T_2 ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ;
  • on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections pr1 et pr2 définies par : \scriptstyle pr_i(\omega_1,\omega_2)=\omega_i, \ i=1, 2.

On montre très facilement qu'une application f, définie sur un espace mesurable \scriptstyle(\Omega,\mathcal A) à valeurs dans l'espace produit \scriptstyle(E_1\times E_2,\mathcal T_1\times\mathcal T_2) , est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées fi sont, chacune, mesurables pour les tribus \scriptstyle\mathcal T_i.

Le lemme de transport permet de montrer que les applications y↦(x,y) (pour x fixé) et x↦(x,y) (pour y fixé) sont aussi mesurables.

Exemple : tribu borélienne produit

Étant donnés deux espaces topologiques \scriptstyle(\Omega_1,\mathcal O_1) et \scriptstyle(\Omega_2,\mathcal O_2) munies de leurs tribus boréliennes respectives \scriptstyle\mathcal B_1 et \scriptstyle\mathcal B_2. Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit \scriptstyle\Omega_1\times\Omega_2 une structure d'espace mesurable :

  1. à partir de la tribu produit \scriptstyle\mathcal B_1\times\mathcal B_2
  2. à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit \scriptstyle\mathcal O_1\times\mathcal O_2, notée \scriptstyle\mathcal B(\mathcal O_1\times\mathcal O_2).
  • On a toujours : \scriptstyle\mathcal B_1\times\mathcal B_2\subset\mathcal B(\mathcal O_1\times\mathcal O_2).

En effet, les projections pri sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.

En effet, soit U un ouvert de \scriptstyle\mathcal O_1\times\mathcal O_2, alors U est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme \scriptstyle U_1\times U_2 (car ils forment une base dénombrable de la topologie produit) : par conséquent \scriptstyle U\in\mathcal B_1\times\mathcal B_2, d'où \scriptstyle\mathcal B(\mathcal O_1\times\mathcal O_2) \subset\mathcal B_1\times\mathcal B_2.

Produit de n tribus

Le produit d'un nombre fini, disons n, de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables \scriptstyle R_1\times\ldots\times R_n. Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de n tribus.

Produit dénombrable de tribus

Si on considère maintenant un produit dénombrable d'espaces mesurés \scriptstyle(\Omega_n,\mathcal T_n), la tribu produit \scriptstyle\times_{n\in\N}\mathcal T_n, définie sur l'ensemble produit \scriptstyle\prod_{n\in\N}\Omega_n, est la tribu engendrée par les ensembles de la forme \scriptstyle\prod_{n\in\N}R_n où où \scriptstyle R_n\in\mathcal T_n et où Rn = Ωn sauf pour un nombre fini d'indices n.

Voir aussi

Mesure produit


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