- Tribu produit
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Sommaire
Définition
Étant donnés deux espaces mesurables
et
, la tribu produit, notée
, permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit
; elle est définie de la façon suivante :
est la tribu engendrée par les pavés mesurables
où
ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ;
- on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections pr1 et pr2 définies par :
.
On montre très facilement qu'une application f, définie sur un espace mesurable
à valeurs dans l'espace produit
, est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées fi sont, chacune, mesurables pour les tribus
.
Le lemme de transport permet de montrer que les applications y↦(x,y) (pour x fixé) et x↦(x,y) (pour y fixé) sont aussi mesurables.
Exemple : tribu borélienne produit
Étant donnés deux espaces topologiques
et
munies de leurs tribus boréliennes respectives
et
. Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit
une structure d'espace mesurable :
- à partir de la tribu produit
- à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit
, notée
.
- On a toujours :
.
En effet, les projections pri sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.
- Si les espaces topologiques
sont à base dénombrable alors
.
En effet, soit U un ouvert de
, alors U est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme
(car ils forment une base dénombrable de la topologie produit) : par conséquent
d'où
.
Produit de n tribus
Le produit d'un nombre fini, disons n, de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables
. Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de n tribus.
Produit dénombrable de tribus
Si on considère maintenant un produit dénombrable d'espaces mesurés
, la tribu produit
, définie sur l'ensemble produit
, est la tribu engendrée par les ensembles de la forme
où où
et où Rn = Ωn sauf pour un nombre fini d'indices n.
Voir aussi
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