Mesure Produit

Mesure Produit

Mesure produit

Soit 2 espaces mesurés, \scriptstyle\ (\Omega_1,\mathcal{S}_1,\mu_1)\ et \scriptstyle\ (\Omega_2,\mathcal{S}_2,\mu_2).\ La tribu produit \scriptstyle\ \mathcal{S}_1\times\mathcal{S}_2\ est la tribu de parties du produit cartésien \scriptstyle\ \Omega_1\times\Omega_2\ engendrée par les pavés \scriptstyle\ A_1\times A_2,\ où \scriptstyle\ A_i\in \mathcal{S}_i,\quad i\in\{1,2\}\ :\

\mathcal{S}_1\times\mathcal{S}_2\ =\ \sigma\left(\left\{A_1\times A_2\ |\ A_1\in \mathcal{S}_1,\ A_2\in \mathcal{S}_2\right\}\right).

Lorsque μ1 et μ2 sont sigma-finies, la mesure produit \scriptstyle\ \mu_1 \times \mu_2 est définie comme l'unique mesure sur l'espace mesurable \scriptstyle\ (\Omega_1\times\Omega_2, \mathcal{S}_1\times\mathcal{S}_2)\ satisfaisant la propriété

\forall A_1\in \mathcal{S}_1,\ \forall A_2\in \mathcal{S}_2\qquad (\mu_1 \times \mu_2)(A_1 \times A_2) = \mu_1(A_1) \mu_2(A_2).

En fait, pour chaque ensemble mesurable E,

(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{\Omega_2} \mu_1(E^y)\,\mu_2(dy) = \int_{\Omega_1} \mu_2(E_{x})\,\mu_1(dx),

avec Ex = {y∈Ω2|(x,y)∈E}, et Ey = {x∈Ω1|(x,y)∈E}, qui sont tout 2 des ensembles mesurables.

Sources

  • Measure theory and integration, Michael E. Taylor, American Mathematical Society
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Product measure ».
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