Théorème de Cauchy (groupes)

Théorème de Cauchy (groupes)
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Cauchy.

En mathématiques, le théorème de Cauchy fournit l'existence d'éléments d'ordre diviseur premier du cardinal d'un groupe fini. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Théorème de Cauchy — Soit G un groupe fini et p un diviseur premier du cardinal n de G. Alors il existe dans G au moins un élément d'ordre p.

Démonstration

Comme p est premier, il suffit de montrer l'existence d'un élément ζ non neutre tel que ζp = e. On pose

E= \{(g)=(g_1,\ldots,g_p) \in G^p\ /\ g_1\cdot g_2\cdots g_p = e \}.

E est en bijection avec Gp − 1:

Remarquons alors que

(g_1,\ldots,g_p) \in E \Rightarrow g_2\cdots g_p \cdot g_1=e .

On peut donc définir \sigma: E \rightarrow E,\ (g_1,\ldots,g_p) \rightarrow (g_2,\ldots,g_p,g_1) qui engendre un groupe de permutations circulaires \sigma^{\mathbb N} = \{\sigma^1,\dots,\sigma^p \} agissant sur E via \phi: \Z/p\Z \times E \rightarrow E,\ ( \bar k,(g_1,\dots,g_p)) \rightarrow (g_{1+k\mod p},\dots,g_{p+k\mod p}).

Les orbites \Z/p\Z \cdot (g) de φ sont de cardinaux divisant p,et elles partitionnent E avec a le nombre d'orbites réduites à un élément et b celui des orbites à p éléments, il est donc clair que

a + pb =\# E=n^{p-1}.

Par suite p divise a, donc a est strictement plus grand que 1. Il existe donc un élément (h_1,...,h_p)\in E autre que (e,\dots,e) tel que

(h_1,\dots,h_p)=(h_2,\dots,h_1)=\dots=(h_p,\dots,h_{p-1})

c'est-à-dire

h_1=h_2=\dots=h_p.

Finalement

h_1 \cdots h_p= h_1 \cdots h_1=h_1^p=e.

Ceci achève la preuve.

Remarque. Cette démonstration est due à James McKay. (James McKay, « Another proof of Cauchy's group theorem », American Mathematical Monthly, vol. 66 (1959), p. 119.)

Remarque: L'égalité a + pb =\# E=n^{p-1} prouve un peu plus: Si on appelle q le nombre d'éléments d'ordre p, on a a = 1 + q et de l'égalité ci-dessus on déduit que "le nombre d'éléments d'ordre p est congru à -1 modulo p.


Voir aussi

Liens externes


v · Augustin Louis Cauchy
Règle de Cauchy • Produit de Cauchy • Critère de Cauchy • Théorème de Cauchy-Lipschitz • Équations de Cauchy-Riemann • Inégalité de Cauchy • Théorème de Cauchy • Loi de Cauchy • Formule de Binet-Cauchy
Théorème de la moyenne de Cauchy • Théorème de Cauchy-Kovalevskaïa • Théorème intégral de Cauchy • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Formule intégrale de Cauchy

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Cauchy (groupes) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Cauchy (groupes) — Théorème de Cauchy (groupes) Pour les articles homonymes, voir Cauchy. En mathématiques, le théorème de Cauchy fournit l existence d éléments d ordre diviseur premier du cardinal d un groupe fini. Il est nommé ainsi en l honneur du mathématicien… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de cauchy (groupes) — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. En mathématiques, le théorème de Cauchy fournit l existence d éléments d ordre diviseur premier du cardinal d un groupe fini. Il est nommé ainsi en l honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy.… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cauchy (théorie des groupes) — Théorème de Cauchy (groupes) Pour les articles homonymes, voir Cauchy. En mathématiques, le théorème de Cauchy fournit l existence d éléments d ordre diviseur premier du cardinal d un groupe fini. Il est nommé ainsi en l honneur du mathématicien… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Cauchy — Théorème de Cauchy Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Augustin Louis Cauchy a laissé son nom à plusieurs théorèmes. En théorie des groupes, le théorème de Cauchy. En algèbre bilinéaire, l… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de cauchy — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Augustin Louis Cauchy a laissé son nom à plusieurs théorèmes. En théorie des groupes, le théorème de Cauchy. En algèbre bilinéaire, l inégalité de Cauchy… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cauchy — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Augustin Louis Cauchy a laissé son nom à plusieurs théorèmes. En théorie des groupes, le théorème de Cauchy. En …   Wikipédia en Français

  • Cauchy — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom.  Cette page d’homonymie répertorie des personnes (réelles ou fictives) partageant un même patronyme. Patronyme Augustin Louis Cauchy (1789 1857),… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Lagrange sur les groupes — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Lagrange. Joseph Louis Lagrange En mathématiques, le théorème de Lagrange en …   Wikipédia en Français

  • Theoreme d'Abel (algebre) — Théorème d Abel (algèbre) Pour les articles homonymes, voir Théorème d Abel. Niels Henrik Abel (1802 …   Wikipédia en Français

  • Théorème d'Abel-Ruffini — Théorème d Abel (algèbre) Pour les articles homonymes, voir Théorème d Abel. Niels Henrik Abel (1802 …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
https://fr-academic.com/dic.nsf/frwiki/1633253 Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”