Théorème de Cauchy (groupes)

Théorème de Cauchy (groupes)
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En mathématiques, le théorème de Cauchy fournit l'existence d'éléments d'ordre diviseur premier du cardinal d'un groupe fini. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Théorème de Cauchy — Soit G un groupe fini et p un diviseur premier du cardinal n de G. Alors il existe dans G au moins un élément d'ordre p.

Démonstration

Comme p est premier, il suffit de montrer l'existence d'un élément ζ non neutre tel que ζp = e. On pose

E= \{(g)=(g_1,\ldots,g_p) \in G^p\ /\ g_1\cdot g_2\cdots g_p = e \}.

E est en bijection avec Gp − 1:

Remarquons alors que

(g_1,\ldots,g_p) \in E \Rightarrow g_2\cdots g_p \cdot g_1=e .

On peut donc définir \sigma: E \rightarrow E,\ (g_1,\ldots,g_p) \rightarrow (g_2,\ldots,g_p,g_1) qui engendre un groupe de permutations circulaires \sigma^{\mathbb N} = \{\sigma^1,\dots,\sigma^p \} agissant sur E via \phi: \Z/p\Z \times E \rightarrow E,\ ( \bar k,(g_1,\dots,g_p)) \rightarrow (g_{1+k\mod p},\dots,g_{p+k\mod p}).

Les orbites \Z/p\Z \cdot (g) de φ sont de cardinaux divisant p,et elles partitionnent E avec a le nombre d'orbites réduites à un élément et b celui des orbites à p éléments, il est donc clair que

a + pb =\# E=n^{p-1}.

Par suite p divise a, donc a est strictement plus grand que 1. Il existe donc un élément (h_1,...,h_p)\in E autre que (e,\dots,e) tel que

(h_1,\dots,h_p)=(h_2,\dots,h_1)=\dots=(h_p,\dots,h_{p-1})

c'est-à-dire

h_1=h_2=\dots=h_p.

Finalement

h_1 \cdots h_p= h_1 \cdots h_1=h_1^p=e.

Ceci achève la preuve.

Remarque. Cette démonstration est due à James McKay. (James McKay, « Another proof of Cauchy's group theorem », American Mathematical Monthly, vol. 66 (1959), p. 119.)

Remarque: L'égalité a + pb =\# E=n^{p-1} prouve un peu plus: Si on appelle q le nombre d'éléments d'ordre p, on a a = 1 + q et de l'égalité ci-dessus on déduit que "le nombre d'éléments d'ordre p est congru à -1 modulo p.


Voir aussi

Liens externes


v · Augustin Louis Cauchy
Règle de Cauchy • Produit de Cauchy • Critère de Cauchy • Théorème de Cauchy-Lipschitz • Équations de Cauchy-Riemann • Inégalité de Cauchy • Théorème de Cauchy • Loi de Cauchy • Formule de Binet-Cauchy
Théorème de la moyenne de Cauchy • Théorème de Cauchy-Kovalevskaïa • Théorème intégral de Cauchy • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Formule intégrale de Cauchy

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