Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà
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Le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà (en) est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Sommaire

Énoncé

Soient E un espace de Banach de dimension finie, H une partie ouverte convexe de E et B(x0,r) une boule incluse dans H.

Soient I = [t0 − a,t0 + a] un intervalle de ℝ (t0,a réels, a > 0), f une fonction continue et bornée de I\times H dans E, et M= \sup_{(t,x)\in I\times H}\|f(t,x)\|.

Alors, il existe une solution au problème de Cauchy :

x'=f(t,x),\qquad x(t_0)=x_0

définie sur l'intervalle [t0 − c,t0 + c] où c=\inf\left(a,\frac rM\right), et à valeurs dans B.

N.B. : Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici.

Exemples

Les exemples suivants sont donnés par Peano[1].

L'équation \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=3x^{2/3} où le second membre est continu en x = 0 sans être lipschitzien, admet les solutions x = t3 et x = 0 qui s'annulent toutes les deux en t = 0 ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle [0,a] et qui prennent la valeur (t − a)3 pour t > a.

L'équation \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\frac{4xt^3}{x^2+t^4} toujours avec la condition x(0) = 0, admet les cinq solutions (C étant une constante arbitraire positive) :

x(t)=t^2~
x(t)=-t^2~
x(t)=0~
x(t)=C-\sqrt{C^2+t^4}
x(t)=\sqrt{C^2+t^4}-C

Référence

Voir aussi

Lien externe

  • Théorème d'existence de Carathéodory (en)

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà de Wikipédia en français (auteurs)

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