Théorème de cauchy (groupes)
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Théorème de Cauchy (groupes)
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Cauchy.
En mathématiques, le théorème de Cauchy fournit l'existence d'éléments d'ordre diviseur premier du cardinal d'un groupe fini. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy.
Théorème de Cauchy — Soit G un groupe fini et p un diviseur premier du cardinal n de G. Alors il existe un élément d'ordre p dans G (distinct de l'élément neutre).
Démonstration
Comme p est premier, il suffit de montrer l'existence d'un élément ζ non neutre tel que ζp = e. On pose
E est en bijection avec Gp − 1:
Remarquons alors que
On peut donc définir qui engendre un groupe de permutations circulaires agissant sur E via .
Les orbites de φ sont de cardinaux divisant p,et elles partitionnent E avec a le nombre d'orbites réduites à un élément et b celui des orbites à p éléments, il est donc clair que
Par suite p divise a, donc a est strictement plus grand que 1. Il existe donc un élément autre que tel que
c'est-à-dire
Finalement
Ceci achève la preuve.
Voir aussi
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2010.
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