Théorème de Banach-Mazur

Théorème de Banach-Mazur

Le théorème de Banach-Mazur est un outil d'analyse fonctionnelle. De manière très approximative, il exprime que les espaces vectoriels normés vérifiant des conditions raisonnables du point de vue de l'analyse sont des sous-espaces fermés de l'espace des chemins continus sur la droite réelle. Le théorème porte le nom de Stefan Banach et Stanisław Mazur.

Sommaire

Énoncé du théorème

Tout espace de Banach séparable est isométrique à un sous-espace fermé de \mathcal{C}([0;1], \R), l'espace des fonctions continues de l'intervalle unité sur la droite réelle.

Esquisse de démonstration

Si K est un espace compact, alors C(K) est l'espace de Banach des fonctions continues K\rightarrow {\mathbb R} avec la norme \|\cdot\|_\infty. Si on prend pour K l'ensemble de Cantor Δ, on obtient un espace de Banach séparable, qui contient une copie isométrique de tout espace de Banach séparable.

  • Énoncé (1) du Théorème de Banach-Mazur: pour tout espace de Banach séparable E, il existe une application linéaire isométrique E\rightarrow C(\Delta).

Soit E1' la boule unité du dual de E. Celle-ci est d'après le théorème de Banach-Alaoglu faiblement compacte pour la topologie faible et à cause de la séparabilité également métrisable. Alors il existe une application continue surjective \phi:\Delta\rightarrow E_1', car d'après un résultat de topologie tout espace compact métrisable est l'image continue de l'ensemble de Cantor. Définissons alors T:E\rightarrow C(\Delta) par Tx(\delta) := \phi(\delta)(x), x\in E, \delta\in \Delta. T est linéaire de manière évidente. T est également isométrique, car \|Tx\|_\infty := \sup_{\delta\in\Delta}|Tx(\delta)| = \sup_{\delta\in\Delta}|\phi(\delta)(x)| = \sup_{f\in E_1'}|f(x)| = \|x\| , où la dernière égalité résulte du théorème de Hahn-Banach et l'avant-dernière de la surjectivité de \phi\,.

Il en résulte facilement le corollaire suivant:

  • Corollaire: pour tout espace de Banach séparable E, il existe un opérateur linéaire isométrique E\rightarrow C([0,1]).

Pour tout f\in C(\Delta), on définit \tilde{f}:[0,1]\rightarrow \R comme la fonction continue, telle que \tilde{f}|_\Delta = f et \tilde{f} est linéaire sur les intervalles de [0,1]\setminus \Delta. L'application f\mapsto\tilde{f} définit alors une injection isométrique C(\Delta)\to C([0,1]) et le résultat découle de l'énoncé (1) de Banach-Mazur donné ci-dessus.

Remarques

  • C([0,1]) est un espace de Banach universel par rapport aux sous-espaces images dans la classe de tous les espaces de Banach séparables; c'est précisement le résultat du théorème de Banach-Mazur.

Il existe d'autres espaces de Banach séparables universels par rapport aux sous-espaces images : on peut montrer que tout espace de Banach séparable est isométriquement isomorphe à un espace quotient de l'espace des suites \ell^1.

  • Aleksander Pełczyński a montré en 1962, que les propositions suivantes sur les espaces de Banach séparables E étaient équivalentes:
  1. E est un espace de Banach séparable universel par rapport aux sous-espaces images.
  2. E contient un sous-espace isomorphe et isométrique de C(Δ).
  3. E contient un sous-espace isomorphe et isométrique de C([0,1]).
  4. Il existe des éléments x_{n,k}\in E pour n\in\N et k=0,1,\ldots 2^n-1, tels que x_{n,k}\,=\,x_{n+1,2k}+x_{n+1,2k+1} et \|\sum_{k=0}^{2^n-1}t_k x_{n,k} \| = \max_{k=0,\ldots 2^n-1}|t_k| pour tous les scalaires t_k \in \R.

Bibliographie

  • S. Banach, S. Mazur: Zur Theorie der linearen Dimension, Studia Mathematica (1933), Band 4, Seiten 100-112
  • A. Pełczyński: Über die Universalität einiger Banachräume (russisch), Vestnik Leningrad. Univ. Ser. Mat. Meh. Astr. 13 (1962), Seiten 22-29 (deutsche Übersetzung)
  • P. Wojtaszczyk: Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 25 (1991)
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis, An Introduction to Banach Space Theory, Wiley-Verlag (2001) ISBN 0-471-37214-5


v · Analyse fonctionnelle
Théorèmes Ascoli · Baire · Banach-Alaoglu · Banach-Mazur · Banach-Schauder · Banach-Steinhaus · Graphe fermé · Hahn-Banach · Lax-Milgram
Divers Fonctionnelle · Calcul des variations · Dérivée fonctionnelle · Espace de Banach · Algèbre de Banach · C*-algèbre · Espace de Hilbert · Espace de Fréchet · Variété banachique · Espace fonctionnel · Noyau reproduisant · Série de Fourier · Transformée de Fourier · Distribution · Topologie faible

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Banach-Mazur de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Banach-Mazur — Théorème de Banach Mazur Le théorème de Banach Mazur est un outil d analyse fonctionnelle. De manière très approximative, il exprime que les espaces vectoriels normés vérifiant des conditions raisonnables du point de vue de l analyse sont des… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de banach-mazur — Le théorème de Banach Mazur est un outil d analyse fonctionnelle. De manière très approximative, il exprime que les espaces vectoriels normés vérifiant des conditions raisonnables du point de vue de l analyse sont des sous espaces fermés de l… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Banach-Schauder — Théorème de Banach Schauder En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de banach-schauder — En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces vectoriels normés complets est …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Banach-Steinhaus — Théorème de Banach Steinhaus Le théorème de Banach Steinhaus (aussi appelé Principe de la borne uniforme) fait partie, au même titre que le théorème de Hahn Banach et le théorème de Banach Schauder, des résultats fondamentaux de l analyse… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de banach-steinhaus — Le théorème de Banach Steinhaus (aussi appelé Principe de la borne uniforme) fait partie, au même titre que le théorème de Hahn Banach et le théorème de Banach Schauder, des résultats fondamentaux de l analyse fonctionnelle. Il a été publié en… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Banach-Alaoglu — Théorème de Banach Alaoglu Bourbaki Le théorème de Banach Alaoglu Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle. Si E est un espace vectoriel topologique et V un voisinage ouvert de 0, le polaire de V, défini par est une partie… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Banach-Alaoglu — Bourbaki Le théorème de Banach Alaoglu Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle. Si E est un espace vectoriel topologique et V un voisinage ouvert de 0, le polaire de V, défini par est une partie compacte pour la topologie… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Banach-Alaoğlu — Théorème de Banach Alaoglu Bourbaki Le théorème de Banach Alaoglu Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle. Si E est un espace vectoriel topologique et V un voisinage ouvert de 0, le polaire de V, défini par est une partie… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de banach-alaoglu — Bourbaki Le théorème de Banach Alaoglu Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle. Si E est un espace vectoriel topologique et V un voisinage ouvert de 0, le polaire de V, défini par est une partie compacte pour la topologie… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”