Théorème de Banach-Mazur

Théorème de Banach-Mazur

Le théorème de Banach-Mazur est un outil d'analyse fonctionnelle. De manière très approximative, il exprime que les espaces vectoriels normés vérifiant des conditions raisonnables du point de vue de l'analyse sont des sous-espaces fermés de l'espace des chemins continus sur la droite réelle. Le théorème porte le nom de Stefan Banach et Stanisław Mazur.

Sommaire

Énoncé du théorème

Tout espace de Banach séparable est isométrique à un sous-espace fermé de \mathcal{C}([0;1], \R), l'espace des fonctions continues de l'intervalle unité sur la droite réelle.

Esquisse de démonstration

Si K est un espace compact, alors C(K) est l'espace de Banach des fonctions continues K\rightarrow {\mathbb R} avec la norme \|\cdot\|_\infty. Si on prend pour K l'ensemble de Cantor Δ, on obtient un espace de Banach séparable, qui contient une copie isométrique de tout espace de Banach séparable.

  • Énoncé (1) du Théorème de Banach-Mazur: pour tout espace de Banach séparable E, il existe une application linéaire isométrique E\rightarrow C(\Delta).

Soit E1' la boule unité du dual de E. Celle-ci est d'après le théorème de Banach-Alaoglu faiblement compacte pour la topologie faible et à cause de la séparabilité également métrisable. Alors il existe une application continue surjective \phi:\Delta\rightarrow E_1', car d'après un résultat de topologie tout espace compact métrisable est l'image continue de l'ensemble de Cantor. Définissons alors T:E\rightarrow C(\Delta) par Tx(\delta) := \phi(\delta)(x), x\in E, \delta\in \Delta. T est linéaire de manière évidente. T est également isométrique, car \|Tx\|_\infty := \sup_{\delta\in\Delta}|Tx(\delta)| = \sup_{\delta\in\Delta}|\phi(\delta)(x)| = \sup_{f\in E_1'}|f(x)| = \|x\| , où la dernière égalité résulte du théorème de Hahn-Banach et l'avant-dernière de la surjectivité de \phi\,.

Il en résulte facilement le corollaire suivant:

  • Corollaire: pour tout espace de Banach séparable E, il existe un opérateur linéaire isométrique E\rightarrow C([0,1]).

Pour tout f\in C(\Delta), on définit \tilde{f}:[0,1]\rightarrow \R comme la fonction continue, telle que \tilde{f}|_\Delta = f et \tilde{f} est linéaire sur les intervalles de [0,1]\setminus \Delta. L'application f\mapsto\tilde{f} définit alors une injection isométrique C(\Delta)\to C([0,1]) et le résultat découle de l'énoncé (1) de Banach-Mazur donné ci-dessus.

Remarques

  • C([0,1]) est un espace de Banach universel par rapport aux sous-espaces images dans la classe de tous les espaces de Banach séparables; c'est précisement le résultat du théorème de Banach-Mazur.

Il existe d'autres espaces de Banach séparables universels par rapport aux sous-espaces images : on peut montrer que tout espace de Banach séparable est isométriquement isomorphe à un espace quotient de l'espace des suites \ell^1.

  • Aleksander Pełczyński a montré en 1962, que les propositions suivantes sur les espaces de Banach séparables E étaient équivalentes:
  1. E est un espace de Banach séparable universel par rapport aux sous-espaces images.
  2. E contient un sous-espace isomorphe et isométrique de C(Δ).
  3. E contient un sous-espace isomorphe et isométrique de C([0,1]).
  4. Il existe des éléments x_{n,k}\in E pour n\in\N et k=0,1,\ldots 2^n-1, tels que x_{n,k}\,=\,x_{n+1,2k}+x_{n+1,2k+1} et \|\sum_{k=0}^{2^n-1}t_k x_{n,k} \| = \max_{k=0,\ldots 2^n-1}|t_k| pour tous les scalaires t_k \in \R.

Bibliographie

  • S. Banach, S. Mazur: Zur Theorie der linearen Dimension, Studia Mathematica (1933), Band 4, Seiten 100-112
  • A. Pełczyński: Über die Universalität einiger Banachräume (russisch), Vestnik Leningrad. Univ. Ser. Mat. Meh. Astr. 13 (1962), Seiten 22-29 (deutsche Übersetzung)
  • P. Wojtaszczyk: Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 25 (1991)
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis, An Introduction to Banach Space Theory, Wiley-Verlag (2001) ISBN 0-471-37214-5


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