Tenseur de densité du flux d'impulsion

Tenseur de densité du flux d'impulsion

Le tenseur de densité du flux d'impulsion est donné par:

Πik = pδik + ρvivk

Considérons un fluide ayant la vitesse \vec{v}: l'impulsion de l'unité de volume du fluide est égale à \rho \vec{v} avec ρ la masse volumique du fluide. Le taux de sa variation est donc:

\frac{\partial \rho \vec{v}}{\partial t}


En notations tensorielles, nous avons alors: \frac{\partial \rho v_i}{\partial t} = \rho \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_i \frac{\partial \rho}{\partial t}


Utilisons l'équation de continuité: \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k} ; et l'équation d'Euler: \frac{\partial v_i}{\partial t} = - v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i}


Grâce à ces deux équations, nous déduisons:

\frac{\partial \rho v_i}{\partial t} = - \rho v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} - \frac{\partial p}{\partial x_i} - v_i \frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k} = - \frac{\partial p}{\partial x_i} - \frac{\partial \rho v_i v_k}{\partial x_k}


Nous pouvons très bien écrire que: \frac{\partial p}{\partial x_i} = \delta_{ik} \frac{\partial p}{\partial x_k}


d'où, \frac{\partial \rho v_i}{\partial t} = - \frac{\partial (\delta_{ik} p + \rho v_i v_k)}{\partial x_k} = - \frac{\partial \Pi_{ik}}{\partial x_k}


Afin de mettre en évidence la signification du tenseur Πik, intégrons l'équation précédente dans un certain volume:

\frac{\partial}{\partial t} \int \rho v_i dV = - \int \frac{\partial \Pi_{ik}}{\partial x_k} dV


D'après le théorème d'Ostrogradsky-Gauss, nous pouvons écrire:

\frac{\partial}{\partial t} \int \rho v_i dV = - \oint \Pi_{ik} dS_k


Dans le premier membre nous avons la variation par unité de temps de la i-ème composante de l'impulsion dans le volume considéré. Ce qui signifie que le second membre représente la quantité de cette impulsion s'écoulant par unité de temps à travers la surface délimitant le volume considéré.

En écrivant dSk = nkdS, nous pouvons dire que: Πiknk = pni + ρvivk ce qui correspond à l'expression vectorielle p \vec{n} + \rho \vec{v} (\vec{v} \cdot \vec{n}). Nous concluons que Πik est la i-ème composante de la quantité d'impulsion traversant par unité de temps l'unité de surface normale à l'axe xk.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Tenseur de densité du flux d'impulsion de Wikipédia en français (auteurs)

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