Principe de moindre action et relativité restreinte

Principe de moindre action et relativité restreinte

En relativité restreinte, le principe de moindre action donne des équations d'Euler-Lagrange presque inchangées par rapport à celles de la mécanique classique, mais le lagrangien n'est plus égal à la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. En fait, à partir de la relativité, il est apparu que le principe de moindre action se base sur l'existence d'une trajectoire continue, paramétrée par le temps, qui minimise une fonction ou la différence entre des fonctions du système étudié, déterminées à partir de principes généraux, tels que par exemples :

  • Comme la trajectoire dans l'espace-temps ne dépend pas du repère d'où on l'observe, l'action qui la détermine, ainsi que les fonctions qui composent l'action, sont invariantes par changement de repère.
  • L'indépendance de corps implique l'additivité de leurs actions et de leurs lagrangiens, pour que les trajectoires puissent être déterminées séparément en appliquant la méthode variationnelle.

Il se trouve qu'en physique classique, ces fonctions du système sont les énergies cinétiques et potentielles, ce n'est plus le cas en relativité.

En physique relativiste, et en l'absence de champ électromagnétique, on montre que la fonction du corps qui est minimisée dans le principe est particulièrement simple : il s'agit de − mcτ, où τ est « temps propre » du trajet, qui est à la fois le temps s'écoulant dans le référentiel du corps au cours du trajet et la longueur de la trajectoire mesurée par la métrique de l'espace : cela revient à maximiser le « temps propre », du fait du signe − et de la constance de la masse m et de la vitesse de la lumière c.
Un champ électromagnétique amène des différences de parcours entre les corps, suivant leurs charges et leurs répartitions.
Et comme en physique classique, toutes les équations peuvent être obtenues sans le principe de moindre action.


Le lecteur doit prendre garde que dans cet article, on n'étudie que le potentiel du champ électromagnétique, et la lettre \ V désigne une vitesse, ainsi qu'indiqué ci-dessous.

Sommaire

Avec ou sans quadri-écriture

  • En relativité restreinte, les corps évoluent dans l'espace-temps de Minkowski où chaque référentiel galiléen a ses coordonnées d'espace \ x_1;x_2;x_3 et sa coordonnée de temps \ x_0 = c.t, subissant toutes une modification en cas de changement de référentiel galiléen. Il n'y a donc plus de temps absolu, pourtant le temps d'un référentiel quelconque, galiléen ou non, permet toujours de paramétrer l'évolution d'un système physique.
En choisissant de repérer le système dans un référentiel galiléen quelconque, donc avec les coordonnées \ (x_0;x_1;x_2;x_3), on peut choisir un temps t0 d'un autre référentiel quelconque, galiléen ou non, pour paramétrer son évolution.
Le lagrangien \ L = L(x_0;x_1;x_2;x_3;V_0;V_1;V_2;V_3) = L(x_i;V_i) exprimé à l'aide des coordonnées et de la vitesse peut donc s'écrire \ L(x_i;V_i) = L(x_i(t_0);V_i(t_0)) , avec V_i = \frac{dx_i}{dt_0}.
  • Si on choisit t_0 = \frac{x_0}{c}~~ le temps du référentiel des coordonnées, le lagrangien et les équations qui en sont tirées donnent, à l'approximation aux petites vitesses devant c~, le lagrangien et les propriétés de la mécanique classique. On dira alors travailler sans la quadri-écriture car seules les coordonnées spatiales apparaissent en général.
  • Si on choisit t_0 =~~ le temps propre, avec dt_0 = \frac{ds}{c}~~, on obtient des résultats équivalents mais dont l'écriture est jugée plus élégante et s'approche de celle de la relativité générale. On remarquera qu'un repère propre n'est galiléen que si le corps est libre. Avec le temps propre, on dira travailler en quadri-écriture car les quatre coordonnées du référentiel apparaissent dans les calculs.
  • Si on choisit t0 un temps autre quelconque, on peut travailler plus facilement avec les dérivées partielles qu'en utilisant les deux autres temps précédents; mais les résultats, bien qu'équivalents, ont une écriture moins maniable et moins élégante. Dans ce cas, on dira aussi travailler en quadri-écriture, pour la même raison.
Avec la quadri-écriture

Par commodité, nous adopterons la convention de sommation d'Einstein dans l'espace de Minkowski : pour deux quadri-vecteurs \ (V_0;V_1;V_2;V_3)\ et \ (U_0;U_1;U_2;U_3), on définit le produit scalaire \ V^iU_i par V^iU_i = \Sigma_{i=0}^3V^i.U_i = V_0.U_0-V_1.U_1-V_2.U_2-V_3.U_3 = V_iU^i , avec \ V^0 = V_0 et pour i=1;2;3 \ V^i = -V_i

On a alors : \ (V_0)^2 - (V_1)^2 - (V_2)^2 - (V_3)^2 = V^iV_i

On montre que : \frac{\partial V_jV^j}{\partial V_i} = 2V^i

De manière similaire, on écrira : \partial^i = \frac{\partial}{\partial x_i} et \partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}

En utilisant un temps quelconque indéterminé \ t_0, l'action \ S = \int_{t_{0i}}^{t_{0f}}L_0 dt_0 permet d'obtenir les équations d'Euler-Lagrange, relativistes mais obtenues de la même manière que dans le cas classique, avec une coordonnées de plus :

\frac{d~~ }{dt_0} \frac{\partial L_0}{\partial V_j } \ - \ \frac{\partial L_0}{\partial x_j} \ = \ 0~~ pour j=0;1;2;3

Il est important de remarquer que comme dans le cas classique, l'action et le lagrangien ne sont pas définis de manière unique : l'action est définie à l'addition près d'une fonction des extrémités du trajet et du temps, et le lagrangien est défini à l'addition près de la dérivée d'une fonction du temps (qui une fois intégrée donne une fonction des extrémités et du temps).

Cas d'un corps libre

Lagrangien d'un corps libre

Déterminons l'action et le lagrangien relativiste d'un corps libre.

Dans aucun référentiel galiléen la quadri-vitesse n'est nulle car le corps avance au moins dans la dimension temporelle.

Le lagrangien relativiste d'un corps libre doit, aux petites vitesses et en première approximation, être égal (peut-être à une constante additive près : l'ajout d'une constante ne change pas les équations d'Euler-Lagrange) au lagrangien classique.

Dans l'espace-temps de Minkowski, l'action détermine la trajectoire, et celle-ci ne dépend pas du référentiel d'où on l'observe. Donc l'action ne dépend pas des coordonnées, et, pour un corps libre, dépend seulement de la vitesse et est invariante par les transformations de Lorentz :

\ S = \int_{t_i}^{t_f}L dt est invariant par les transformations de Lorentz

Dans le référentiel propre du corps, \ dt = dt_0 est la variation du temps propre du corps ; \ L = L_0 et la vitesse spatiale du corps est nulle. Dans un référentiel galiléen, et avec l'hypothèse que le corps est libre, la quadri-vitesse est constante dans le temps (et n'est jamais nulle) donc le lagrangien aussi car il dépend de la seule vitesse.

Ainsi, dans le référentiel propre du corps le lagrangien propre, \ L_0 , est une constante dans le temps.

Vu depuis un autre référentiel galiléen, se déplaçant par rapport au référentiel propre à la vitesse spatiale \ v constante, on a : \ dt_0 = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.dt

Donc : \ S = \int_{t_i}^{t_f} L_0.\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt

où \ v = vitesse spatiale relative entre le référentiel et le référentiel propre du corps = vitesse spatiale du corps dans le référentiel.

Donc : \ L = L_0.\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \approx \ L_0.(1 - \frac{v^2}{2c^2}) = L_0 - \frac{L_0}{2c^2}v^2 par l'approximation aux petites vitesses devant \ c.

En comparant au lagrangien classique \ L = \frac{1}{2}mv^2 (qui n'est pas réellement modifié par l'ajout de la constante L0) , on obtient : - \frac{L_0}{2c^2} = \frac{1}{2}m , d'où \ L_0 = -mc^2

Conclusion : dans un référentiel galiléen quelconque, le lagrangien est

\ L = -mc^2.\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

où \ v est la vitesse spatiale du corps dans ce référentiel.

Impulsion et énergie

  • Par définition de l'impulsion \vec{p}, on a : \vec{p} = \frac{ \partial L}{\partial \vec{v}} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
L'énergie est définie par : \ E = \vec{p}.\vec{v} - L
On obtient : \ E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
En particulier, pour v = 0, l'énergie au repos est \ E = mc^2
  • En exprimant l'énergie en fonction de l'impulsion, on obtient : \ E^2 = p^2.c^2 + m^2.c^4 ou encore \ m^2.c^4 = E^2 - p^2.c^2
  • On remarquera que bien qu'ayant la dimension d'une énergie, le lagrangien relativiste n'est pas l'énergie cinétique : cette dernière vaut
\ E_c = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - mc^2 = mc^2.\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - 1\right)
On a bien \ E_c \ ≈ \frac{1}{2} m \ v^2 \ à l'approximation aux petites vitesses devant \ c

Avec la quadri-écriture

  • On constate que \ L.dt = -mc^2.\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.dt = -mc.\sqrt{(c.dt)^2-(dx_1)^2-(dx_2)^2-(dx_3)^2} = -mc\sqrt{dx_idx^i} = -mc.ds , en utilisant l'égalité v_i = \frac{dx_i}{dt} et la définition adéquate de \ ds , appelé « temps propre » du corps.
En utilisant le fait que \ ds = \sqrt{dx_idx^i} est le temps propre du corps, l'action minimisée entre deux points de l'espace-temps \ S = -mc\int_A^Bds montre que le chemin suivi par la particule pour aller du point A au point B est celui qui maximise le temps propre, car le terme négatif − mc transforme la minimisation de \ S = -mc\int_A^Bds en maximisation de \int_A^Bds.
En factorisant par \ dt_0 , un temps quelconque paramétrant le système (et n'est donc pas obligatoirement le temps propre), on obtient : \ L.dt = -mc.\sqrt{V_iV^i}.dt_0 = L_0.dt_0
, en utilisant la quadri-vitesse pas obligatoirement propre \ V = (V_0;V_1;V_2;V_3) définie par : \ V_i = \frac{dx_i}{dt_0} ,avec \ x_0 = c.t.
Le lagrangien relativiste d'une particule libre, paramétrée par le temps quelconque \ t_0, s'exprime donc :

\ L_0 = -mc. \sqrt{V_iV^i} = -mc.\frac{ds}{dt_0}.

  • On se rappelle que la quadri-impulsion, comme l'impulsion, est définie par P^i = \frac{\partial L_0}{\partial V_i}
D'où : P^i = -mc\frac{V^i}{\sqrt{V^jV_j}}
Pour i = 0 , on obtient : P^0 = -mc.\frac{(\frac{c.dt}{dt_0})}{(\frac{ds}{dt_0})} = -mc.\frac{c.dt}{ds} = -\frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = -\frac{E}{c}
Pour i = 1;2;3 , de manière similaire au cas i=0, on obtient : (P^1,P^2;P^3)= \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \vec{p}.
Le carré de la "norme" de la quadri-impulsion est \ P^jP_j = (P_0)^2-(P_1)^2-(P_2)^2-(P_3)^2 = \frac{(-E)^2}{c^2} - (\vec{p})^2, et aussi \ P^iP_i = m^2.c^2.\frac{V^iV_i}{(\sqrt{V^jV_j}\ )^2} = m^2.c^2
D'où la formule déjà vue : \ m^2.c^4 = E^2 - p^2.c^2
  • La constance de la quadri-impulsion, démontrée à partir des équations d'Euler-Lagrange, permet de montrer que l'énergie E et l'impulsion spatiale sont constantes par rapport au temps \ t_0~.
  • La constante \ P^iV_i-L par rapport au temps \ t_0~ est en fait la constante 0 ; une petite manipulation permet d'en déduire l'égalité déjà vue \ m^2.c^4 = E^2 - p^2.c^2.
En calculant \ P^iV_i-L pour i∈{1;2;3} on retrouve l'énergie et l'égalité déjà citées.
  • On montre facilement que quel que soit le temps \ t_0~ choisi, s'il est celui d'un repère galiléen, la vitesse \ V_i et la "pseudo-norme" \sqrt{V^jV_j} sont constantes par rapport au temps \ t_0~ : c'est une conséquence directe de la définition des repères galiléens, et du fait que le corps est libre.
  • Dans le cas particulier où \ dt_0 est le temps propre \frac{ds}{c}, alors les quadri-vitesse et quadri-impulsion sont propres, et on a l'égalité particulière \sqrt{V^jV_j} = \frac{ds}{dt_0} = c.\frac{ds}{ds} = c , qui peut être embarrassante pour l'utilisation des dérivées partielles dans le travail ci-dessus, et qui donne \ P^0 = -m.V^0 = -\frac{E}{c} et pour i=1;2;3 \ P^i = m.V^i = p_i .

Cas d'un corps dans un champ électromagnétique

Sans la quadri-écriture

Comme dans le cas classique, le lagrangien peut être défini en utilisant un potentiel électromagnétique (\phi(\vec{q},t), \vec{A}(\vec{q},t)) :

L = L(\vec{q},\vec{v},t) = \ -m.c^2.\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - e\phi(\vec{q},t) + e. \vec{v} \cdot \vec{A}(\vec{q},t)

En prenant encore \vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} , les équation d'Euler-Lagrange donnent :

\dot{\vec{p}}= e \left(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}\right)

ce qui n'est pas une égalité pratique à utiliser car la dérivation de \vec{p}~~ est laborieuse.

L'impulsion est définie par : \vec{P} = \frac{ \partial L}{\partial \vec{v}} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} + e.\vec{A} = \vec{p} + e.\vec{A}

On prendra donc soin de distinguer \vec{p} et \vec{P}

L'énergie est définie par : \ E = \vec{P}.\vec{v} - L

On obtient : \ E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} + e.\phi

Et après quelques calculs pour exprimer l'énergie en fonction de l'impulsion : \ (E-e\phi)^2 = \left(\vec{P} - e.\vec{A}\right)^2.c^2 + m^2.c^4

Toutes les approximations aux petites vitesses devant c redonnent les résultats classiques.

À partir du potentiel électromagnétique, le premier groupe des équations de Maxwell se démontre sans difficulté : l'équation de Maxwell-Faraday et l'équation de conservation du flux magnétique.

Avec la quadri-écriture

Le champ électromagnétique se manifeste sous forme d'un quadri-vecteur, appelé quadri-potentiel électromagnétique, \ A^j dont l'interaction avec la particule de charge \ e se manifeste sous forme lagrangienne par \ e.A^j.dx_j

La définition de l'action relativiste infinitésimale d'un champ électromagnétique est donc \ L.dt = \ -mc.\sqrt{dx_j.dx^j} - e.A^j.dx_j .

On pose F^{ij} = \partial^i A^j - \partial^j A^i tenseur champ électromagnétique.

En prenant \ t_0 le temps propre de la particule, les équations d'Euler-Lagrange donnent les équations du mouvement de la particule :

m. \frac{dV^i}{dt_0} = e.V_j.F^{ij}

Que l'on peut écrire aussi :

mc. \frac{dV^i}{ds} = e.V_j.F^{ij}

En prenant : champ électrique = \vec{E} = c.\left(F^{01},F^{02},F^{03}\right) et champ magnétique = \vec{B} = \left(F^{23},F^{31},F^{12}\right) , on retrouve la force de Lorentz sous son écriture habituelle.

Démonstration des équations du mouvement d'une particule dans un champ électromagnétique

On considère un champ de force dont l'interaction avec la particule de charge \ e se manifeste sous forme lagrangienne par \ e.A^j.dx_j

La définition de l'action relativiste infinitésimale d'un champ électromagnétique est \ L.dt = \ -mc.\sqrt{dx_j.dx^j} - e.A^j.dx_j .

En factorisant par \ dt_0 un temps paramétrant le système, pas obligatoirement propre, on obtient : L_0.dt_0 = ( -mc.\sqrt{V_j.V^j} - e.A^j.V_j).dt_0

Les équations d'Euler-Lagrange relativistes

~\frac{d~~ }{dt_0} \frac{\partial L_0}{\partial V_i } \ - \ \frac{\partial L_0}{\partial x_i} \ = \ 0

donnent : \frac{d~~ }{dt_0} (-mc\frac{2V^i}{2\sqrt{V_j.V^j}}- e.A^i) \ + e\ V_j \frac{\partial A^j}{\partial x_i} \ = \ 0

En prenant dès maintenant \ t_0 = temps propre, on utilise l'égalité \sqrt{V^jV_j} = c ~ qui simplifie la dérivation

(mais on peut dériver avant si on veut plus de cohérence dans le suivi de la méthode), et on a :

-m. \frac{dV^i}{dt_0} - e.\frac{dA^i}{dt_0} + e. \ V_j \frac{\partial A^j}{\partial x_i} \ = \ 0

Sachant que \frac{dA^i}{dt_0} = \frac{\partial A^i}{\partial x_j}. \frac{dx_j}{dt_0} = \partial^j A^i.V_j \ \ et en posant F^{ij} = \partial^i A^j - \partial^j A^i tenseur champ électromagnétique,

on obtient l'équation du mouvement : m. \frac{dV^i}{dt_0} = e.V_j.F^{ij}

On retrouve le cas sans quadri-écriture en factorisant par \ c.dt le temps du référentiel, en prenant

\ A^0 = A_0 = \frac{\phi}{c}~~ et (A^1;A^2;A^3) = - (A_1;A_2;A_3) = - \vec{A}.

 
  • On se rappelle que la quadri-impulsion, comme l'impulsion, est définie par P^i = \frac{\partial L_0}{\partial V_i}
D'où : P^i = -mc\frac{V^i}{\sqrt{V^jV_j}} - e.A^i
Pour i = 0 , on obtient : P^0 = -mc.\frac{(\frac{c.dt}{dt_0})}{(\frac{ds}{dt_0})} - e.A^0 = -mc.\frac{c.dt}{ds} - e.\frac{\phi}{c} = -\frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - \frac{e}{c}.\phi = -\frac{E}{c}
Pour i = 1;2;3 , de manière similaire au cas i=0, on obtient : (P^1,P^2;P^3)= \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} + e.\vec{A} = \vec{p} + e.\vec{A} = \vec{P}.
De manière similaire au cas d'un corps libre, la constante \ P^iV_i-L par rapport au temps \ t_0~ est en fait la constante 0, et une petite manipulation permet d'en déduire l'égalité déjà vue \ m^2.c^4 = (E - e.\phi)^2 - \left(\vec{P} - e\vec{A}\right)^2.c^2.

L'invariance de jauge du potentiel et du tenseur électromagnétiques

On remarque que si à la place du quadri-potentiel électromagnétique \ A^j , on a le quadri-potentiel \ A'^j = A^j + \partial^j \phi où \ \phi est une fonction quelconque des coordonnées, alors le lagrangien devient L' = L + \partial^j \phi.dx_j et l'action S' = S + \int^{t_f}_{t_i}\partial^j \phi.dx_j = S + \phi (x_i(t_f)) - \phi (x_i(t_i))

En appliquant la méthode variationnelle qui fait varier le chemin en gardant les extrémités fixes, le terme \ \phi (x_i(t_f)) - \phi (x_i(t_i)) est éliminé. Donc les deux potentiels \ A^j et \ A'^j = A^j + \partial^j \phi donnent les mêmes équations du mouvement : on appelle cela l'« invariance de jauge ».

On constate d'ailleurs que dans les équations du mouvement, le tenseur électromagnétique, terme représentant l'influence du champ électromagnétique, est bien invariant de jauge : F'^{ij} = \partial^i A'^j - \partial^j A'^i = \partial^i A^j - \partial^j A^i + \partial^i \partial^j \phi- \partial^j \partial^i \phi = \partial^i A^j - \partial^j A^i = F^{ij}

par le théorème de Schwarz : \partial^i \partial^j = \partial^j \partial^i.

Cas d'un champ « de force »

En physique classique, l'influence d'un corps sur un autre se transmet instantanément ; avec l'arrivée de l'électromagnétisme de Maxwell et plus encore avec celle de la relativité restreinte, l'influence se transmet au maximum à la vitesse de la lumière (dans le vide).

Ainsi, entre le corps influent et le corps influencé, il se balade quelque chose dans l'espace, en général à la vitesse de la lumière, qui se répand dans l'espace et dont l'effet est un changement de trajectoire du corps influencé.

Suivant quelles propriétés ce champ (appelé ainsi car il a tendance à occuper l'espace) est-il créé, se déplace-t'il, est-il influencé par son environnement, etc ?

On peut répondre à ces questions à l'aide du principe de moindre action.

Densité lagrangienne et équations d'Euler-Lagrange associées

  • Un champ est caractérisé par une étendue importante dans l'espace, on ne peut donc pas le repérer par les coordonnées (t,\vec{q},\vec{v}), mais on peut le repérer (ou plutôt le quantifier) par ses projections \ (A_0,A_1,A_2,A_3) sur les axes (x0,x1,x2,x3) et par les variations \frac{\partial A_i}{\partial x_j} = \partial^j A_i de ses projections (en supposant par avance que nous pourrons en déduire les dérivées secondes, comme dans le cas d'un corps localisé).
Nous utiliserons donc \ (A_0,A_1,A_2,A_3) et \frac{\partial A_i}{\partial x_j} = \partial^j A_i , avec i,j ∈{0,1,2,3} pour un champ de la même manière que les quadri-coordonnées et la quadri-vitesse pour un corps localisé, les coordonnées (x0,x1,x2,x3) jouant le rôle de paramètres, comme seul le temps le faisait avant.
  • L'action d'un champ est donc de la forme : S = \int_V \Lambda(A_i;\partial^jA_i)d\Omega
Où V est le quadri-volume dans lequel on va appliquer la méthode variationnelle, \ \Lambda est appelé la « densité lagrangienne » et \ d\Omega = dx_0.dx_1.dx_2.dx_3 = c.dt.dx_1.dx_2.dx_3
  • Par une démonstration semblable à celle déjà vue dans le cas d'un corps localisable, et en utilisant la convention de sommation d'Einstein, on obtient les équations d'Euler-Lagrange pour la densité lagrangienne :
\partial^j \frac{\partial \Lambda}{\partial (\partial^jA_i)} - \frac{\partial \Lambda}{\partial A_i} = 0
Démonstration des équations d'Euler-Lagrange pour une densité lagrangienne
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Tenseur impulsion-énergie d'un champ

La densité lagrangienne \Lambda = \Lambda(A_j;\partial_kA_j) d'un champ étant donnée,

Détails

On a : \partial_i \Lambda = \frac{\partial \Lambda}{\partial A_j}. \partial_i A_j + \frac{\partial \Lambda}{\partial (\partial_k A_j)}.\partial_i(\partial_k A_j) puis en utilisant les équations d'Euler-Lagrange,

le lemme de Schwarz et enfin l'égalité \partial_i \Lambda = \delta^k_{~i}\partial_k\Lambda,

on obtient : \partial_k (~\frac{\partial \Lambda}{\partial (\partial_kA_j)}.\partial_i A_j - \delta^k_{~i}\Lambda~) = 0

 

en posant

T^k_{~i} = \frac{\partial \Lambda}{\partial(\partial_kA_j)}.\partial_iA_j - \delta^k_{~i}\Lambda

tenseur « impulsion-énergie », on a :

\partial_kT^k_{~i} = 0

ce qui exprime sa conservation.

En posant : \ w = T^0_{~0} = \frac{\partial \Lambda}{\partial(\partial_0A_j)}.\partial_0A_j - \Lambda la densité d'énergie et P^k = c.T^k_{~0} = c.\frac{\partial \Lambda}{\partial(\partial_kA_j)}.\partial_0A_j pour k∈{1;2;3} les composantes du vecteur \vec P.

Nous avons alors les deux équations équivalentes

\partial_kT^k_{~0} = 0

\frac{\partial w}{\partial t} + div(~\vec{P}~) = 0

qui est l' « équation de conservation de l'énergie » : localement, la variation dans le temps de la densité d'énergie \ w est égale à l'opposée de la variation de densité d'impulsion par les composantes spatiales \ P_i.

Densité lagrangienne d'un champ électromagnétique libre

La densité lagrangienne du champ électromagnétique est :

\Lambda_{em} = -\frac{1}{4\mu_0}F^{ij}F_{ij}

Ébauche de démonstration de l'expression de la densité lagrangienne du champ électromagnétique
  • On cherche la densité lagrangienne du champ électromagnétique qui est composé du ou des nombres construits à partir du potentiel électromagnétique \ A_i i=0;1;2;3 qui sont invariants par changement de référentiel dans l'espace de Minkowski.
La manifestation de ce potentiel est le champ électrique = \vec{E} = c.(F^{01},F^{02},F^{03}) et le champ magnétique = \vec{B} = (F^{23},F^{31},F^{12}).
  • On cherche donc les nombres invariants construits à partir de la matrice 4×4 associée : \ F = (F^i_{~j})_{i,j=0,...,3}
Les coefficients du polynôme caractéristique sont invariants par la transformation d'endomorphismes F \to U^{-1}.F.U , où \ U est la matrice de Lorentz du changement de base dans l'espace de Minkowski, c'est-à-dire de référentiel galiléen en relativité restreinte.
Les invariants de cette matrice par les changements de base sont les coefficients de son polynôme caractéristique \ P_F(x) = det(F-x.Id)
On sait, par la définition de ses coefficients, que cette matrice est anti-symétrique : \ ^tF = -F , où \ ^t est la transposition de la matrice. On en déduit que \ P_F(x) est un polynôme pair. Soit : \ P_F(x) = x^4 + a.x^2 + det(F).
Par quelques calculs, on montre que \ a = - F^i_{~j}F_{~i}^j = F^{ij}F_{ij} = -2.( \frac{\vec{E}^2}{c^2} - \vec{B}^2) et que \ det(F) = - \frac{1}{c^2} .(\vec{E}.\vec{B})^2.
Il y a donc deux nombres à examiner : \ F^{ij}F_{ij} = -2( \frac{\vec{E}^2}{c^2} - \vec{B}^2) et \frac{1}{c^2}.(\vec{E}.\vec{B})^2.
  • Pour une raison de dimension , le nombre \frac{1}{c^2}.(\vec{E}.\vec{B})^2 ne convient pas (la densité lagrangienne doit avoir la dimension d'une densité d'énergie), il faut essayer avec \sqrt{\frac{1}{c^2}.(\vec{E}.\vec{B})^2} = \frac{1}{c}.|\vec{E}.\vec{B}| = \frac{+/- 1}{c}.\vec{E}.\vec{B}.
Mais on peut montrer que \vec{E}.\vec{B} est la différentielle d'une fonction, donc son ajout à la densité lagrangienne ne changerait en rien les équations d'Euler-Lagrange. Le nombre (\vec{E}.\vec{B})^2 peut donc être écarté.
  • De ce fait, \ F^{ij}F_{ij}~ est l'unique candidat à être la densité lagrangienne.
  • En choisissant un coefficient multiplicateur qui détermine les unités de mesure du champ électromagnétique, on prend : \Lambda_{em} = -\frac{1}{4\mu_0}F^{ij}F_{ij}
le signe \ - se justifiant par des considérations liées à la minimisation de l'action.
 

Les équations du champ électromagnétique

L'hypothèse de ce paragraphe est qu'il y a un courant de particules (voire d'une seule particule) non influencé par le champ électromagnétique. Avec cette condition, on étudie les modifications du champ.

Détails pour déterminer la densité lagrangienne à utiliser

On sait (par hypothèse) que l'interaction entre une particule et le champ se modélise, sous forme lagrangienne, par \ e.A^j.dx_j .

L'action est donc : S = -\Sigma_{part}(~e.\int A^idx_i ) - \frac{1}{4\mu_0}\int_{t_i}^{t_f}dt \int F^{ij}F_{ij}.dx_1dx_2dx_3 = -\Sigma_{part}(~e.\int A^idx_i ) - \frac{1}{4c\mu_0}\int_V F^{ij}F_{ij}.d\Omega

On a : \Sigma_{part}(~e.\int A^idx_i ) = \Sigma_{part}(~e.\int A^i \frac{dx_i}{dt}.dt) = \int \rho dx_1dx_2dx_3 \int A^i \frac{dx_i}{dt}.dt = \frac{1}{c} \int_V A^i \rho \frac{dx_i}{dt}.d\Omega

Ce que l'on peut écrire : \Sigma_{part}(~e.\int A^idx_i ) = \frac{1}{c} \int_V A^i J_i.d\Omega

Avec \rho = \frac{d^3e}{dx_1dx_2dx_3}~~ la densité de charge et J_i = \rho.\frac{dx_i}{dt} = (\rho .c~; \rho.\vec v ) = (\rho .c~; \vec j~) le quadri-vecteur courant.

On obtient : S = -\frac{1}{c} \int_V ( A^iJ_i + \frac{1}{4\mu_0}F^{ij}F_{ij}).d\Omega = \frac{1}{c} \int_V \Lambda d\Omega
 

La densité lagrangienne à utiliser est :

\Lambda = -A^iJ_i - \frac{1}{4\mu_0}F^{ij}F_{ij}

Les équations d'Euler-Lagrange donnent :

\partial^i F_{ik} = \mu_0.J_k

Pour k = 0 , on obtient \mathrm{div}\ \overrightarrow{E} \ = \ \frac{\rho}{\varepsilon_0} l'équation de Maxwell-Gauss ou équation de conservation de la charge.

Pour k∈{1;2;3} on obtient \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \overrightarrow{B} \ = \ \mu_0 \overrightarrow{j} \ + \ \varepsilon_0 \mu_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} l'équation de Maxwell-Ampère.

De plus, à partir de \partial^i F_{ik} = \mu_0.J_k , et en utilisant l'anti-symétrie de \ F_{ik} et le théorème de Schwarz ( ~~\partial^{ik} = \partial ^{ki}~~ ), on obtient : \mu_0. \partial^k J_k = - \mu_0. \partial^i J_i

D'où les deux présentations de « l'équation de conservation de la charge » :

\partial^k J_k = 0~~

~~\mathrm{div}\ (~\vec{j}~) + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

Tenseur impulsion-énergie du champ électromagnétique

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Notes

Bibliographie

  • Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
  • Richard P. Feynman ; Le cours de physique de Feynman - Electromagnétisme (I), chapitre 19, InterEditions (1979), ISBN 2-7296-0028-0. Réédité par Dunod (2000), ISBN 2-1000-4861-9
  • Jean-Claude Boudenot ; Électromagnétisme et gravitation relativistes, ellipse (1989), ISBN 2729889361
  • Jean-Louis Basdevant ; Principes variationnels & dynamique, Vuibert (2005), ISBN 2711771725.
  • Florence Martin-Robine ; Histoire du principe de moindre action, Vuibert (2006), ISBN 2711771512.
  • Edgard Elbaz ; Relativité générale et gravitation, ellipse (1986).

Articles connexes

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Relativité
Avant Einstein Histoire de la physique · Histoire de la relativité restreinte · Michelson · Voigt · Lorentz · Mach · Poincaré · Hilbert · Expérience de Michelson-Morley · Éther
Avec Einstein Principe de relativité · Principe d'équivalence · c · Transformation de Lorentz · Espace-temps · E=mc2 · Temps · Petites expériences de pensée · Paradoxe des jumeaux · Paradoxe du train · Relativité restreinte et générale · Controverse de paternité
En physique des particules Cyclotron · Accélérateur de particules · Feynman · Électrodynamique quantique
Voir aussi : Âge d'or de la relativité générale

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