Série géométrique

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En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner. C'est la série des termes d'une suite géométrique.

Bien qu'en apparence simple, elle mérite attention car elle admet une généralisation dans les algèbres de Banach qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.

Sommaire

1 Définition dans le corps des réels
2 Terme général
- 2.1 Preuve par récurrence
- 2.2 Preuve directe
3 Convergence
4 Exemples numériques
5 Généralisation au corps des complexes
6 Séries géométriques dans les algèbres de Banach
7 Voir aussi
8 Références

Définition dans le corps des réels

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite géométrique à valeurs réelles de terme initial $u_0=a \in \R$ et de raison $q \in \R$ . On exclut le cas $q = 1$ qui nous donne une suite constante égale à $a$ .

On appelle suite géométrique la suite de terme général $u n$ : $\forall n \in \N,\ u_n=aq^n$ . La série $(S_n)_{n \in \N}$ des sommes partielles de cette suite est donc définie par

$\forall n \in \N,\ S_n=\sum_{k=0}^{n-1} u_k=u_0+u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{n-1}$

Terme général

Nous connaissons le terme général de la suite géométrique $(u n)$ (avec, dans le cas présent, $a = u 0$ ) :

$\forall n \in \N,\ u_n=aq^n$

Montrons que le terme général de la série $(S n)$ s'écrit :

$S_n=a \sum_{i=0}^{n-1} q^{i} =a \frac{1-q^{n}}{1-q}$

Preuve par récurrence

L'identité est vraie pour $n = 0$ . Supposons-la vérifiée au rang $n$ . Alors, il suffit d'écrire :

$S_{n+1}=S_n+aq^n=a\frac{1-q^{n}}{1-q}+aq^n=a\frac{1-q^{n}+q^n-q^{n+1}}{1-q}=a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

ce qui montre l'assertion au rang $n + 1$ .

Preuve directe

Pour $n \in \N$ fixé, on multiplie $S n$ par $q$ , puis on soustrait le résultat obtenu à $S n$ :

$\begin{array}{ccccccccccccccc} S_n &=& a &+& a.q &+& aq^2 &+& \ldots &+& aq^{n-2} &+& aq^{n-1} & & \\ qS_n &=& & & a.q &+& aq^2 &+& \ldots &+& aq^{n-2} &+& aq^{n-1} &+& aq^n \\ \hline S_n-qS_n &=& a & & & & & & & & & & &-& aq^n~. \\ \end{array}$

On obtient donc

$\left(1-q\right)S_n=a\left(1-q^n\right)$ .

Une variante de rédaction de la preuve de cette formule est d'écrire

$S_n = a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}$ ,

puis de multiplier « de chaque côté » de l'égalité par $(1 - q)$ de la manière suivante :

$\begin{align} (1-q)S_n&=(1-q)(a+ aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1})\\ &=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}\\ &{\color{White}{}=a}-aq-aq^2-\cdots-aq^{n-1}-aq^n\\ &=a-aq^n\\ &=a(1-q^n) \end{align}$

(c'est une somme télescopique).

Finalement on trouve :

$S_n=a\cfrac{1-q^n}{1-q}$ .

Convergence

On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, ou ce qui est équivalent, les cas où la suite $(S n)$ est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas $a = 0$ qui est sans intérêt):

Si $| q | < 1$ , alors $q n$ tend vers 0, et donc la suite $(S n)$ est convergente, de limite

$\cfrac{a}{1-q}$ .

Cette notion permet de résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens.

Si $| q | = 1$ , on a deux cas. Si q=1, alors $S n = a n$ et si $q = - 1$ , alors $S n = 0$ pour $n$ pair et $S n = a$ pour $n$ impair. La suite diverge dans les deux cas.
Si $| q | > 1$ , la suite $(q n)$ diverge et a fortiori $(S n)$ diverge grossièrement.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

On dispose donc du résultat général suivant, connu sous le nom de lemme de lurton :

La série géométrique réelle de terme initial $a \in \R$ non nul et de raison $q \in \R$ est convergente si et seulement si $| q | < 1$ . Dans ce cas, sa somme vaut :

$\sum_{n=0}^{\infty} aq^n=\frac{a}{1-q}$

Exemples numériques

On cherche à calculer $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256$ .

C'est la somme partielle d'une série géométrique de raison 2 et de premier terme 2. La formule ci-dessus s'écrit :

$2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256=2\times \frac{1-256}{1-2}=510$

Généralisation au corps des complexes

Les résultats s'étendent très naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme $a \in \mathbb{C}$ et de raison $q \in \mathbb{C}$ est la série de terme général $a q n$ .

La condition nécessaire et suffisante de convergence est que la raison $q$ soit un complexe de module strictement inférieur à 1.

Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. Son rayon de convergence est 1.

Le point 1 est un point de césure.

Séries géométriques dans les algèbres de Banach

Si $(A,\|.\|)$ désigne une algèbre de Banach, la série géométrie de raison $u\in A$ est la série de terme général $u n$ . Lorsque $\|u\|<1$ , la sous-multiplicativité donne :

$\|u^n\|\leq \|u\|^n$

Comme la série géométrique réelle de raison $\|u\|$ est convergente, la série géométrique de raison $u$ est absolument convergente. Notons $S$ sa somme. Alors on a :

$(1-u)S=\sum_{n=0}^{\infty} u^n-\sum_{n=1}^{\infty} u^n=1$

Donc $S$ est l'inverse de $(1 - u)$ . C'est un résultat fondamental. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :

L'ensemble des éléments inversibles de $A$ est un ouvert.
Pour un élément $x \in A$ , son spectre - l'ensemble des complexes $λ$ tels que $(λ - x)$ ne soit pas inversible - est une partie fermée non vide et bornée de $\mathbb{C}$ .
Sur son domaine de définition, l'application $\lambda\mapsto (\lambda-x)^{-1}$ est développable en séries entières.

Voir aussi

Suite géométrique

Références

Eric J.-M. Delhez, Analyse Mathématique, Tome II, Université de Liège, Belgique, juillet 2005, p. 344.
Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]

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