Rectangle

Un rectangle.

En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.

Définition et propriétés

Un quadrilatère est une figure plane constituée de quatre points (appelés sommets) et de quatre segments (ou côtés) liant ces sommets deux à deux de manière à délimiter un contour fermé.

• 

  Quadrilatères. Les deux situés en haut à gauche sont des rectangles.

• 

  Un rectangle, ses deux diagonales et un angle droit codé.

Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle

Un quadrilatère avec trois angles droits.

Différentes propriétés caractéristiques permettent d'affirmer qu'un quadrilatère est un rectangle.

Il suffit qu'un quadrilatère possède trois angles droits pour être un rectangle.

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il est un rectangle si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :

• il possède deux côtés consécutifs perpendiculaires (autrement dit : il possède un angle droit) ;
• ses diagonales ont la même longueur.

Propriétés

Les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles et de même longueur; ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

Le rectangle possède deux axes de symétrie, qui sont les médiatrices de ses côtés. Il possède également un centre de symétrie, l'intersection de ses diagonales.

Les diagonales étant de même longueur et sécantes en leur milieu O, les quatre sommets du rectangle sont équidistants de O, ce qui signifie qu'il existe un cercle de centre O passant par ces quatre sommets, appelé cercle circonscrit au rectangle, qui est lui-même dit inscrit dans ce cercle.

Quel que soit un rectangle, il peut servir à constituer un pavage du plan. Cela signifie qu'il est possible, avec des rectangles identiques, de recouvrir tout le plan sans superposer deux rectangles. Des droites perpendiculaires partagent le plan en zones rectangulaires.

Mesures

Ce rectangle a pour largeur 4 et pour longueur 5. Son périmètre est égal à 18 et son aire à 20.

Périmètre	2 × (a + b)
Aire	a × b
Diagonale

Les côtés d'un rectangle étant deux à deux de même longueur a et b, il est d'usage d'appeler dimensions du rectangle ces deux nombres. Le plus grand est la longueur du rectangle, le plus petit sa largeur.

Un rectangle de côtés a et b possède une aire égale à a × b, et un périmètre de 2 × (a + b). La somme a + b est parfois appelée demi-périmètre du rectangle.

L'application du théorème de Pythagore permet de constater que les diagonales du rectangle sont égales et mesurent

Ces mesures sont résumées dans le tableau ci-contre.

Deux rectangles qui ont même longueur a et même largeur b sont isométriques. Cela signifie qu'ils sont superposables : l'un des deux peut être transformé en l'autre par une succession de translations, rotations ou retournements. Le quotient ^a⁄_b est appelé format du rectangle. Tous les rectangles de formats égaux sont semblables : il existe un agrandissement (ou une réduction) permettant de passer de l'un à l'autre. Autrement dit, ils ont « la même forme ». Comme la longueur est supérieure ou égale à la largeur, le format est un nombre supérieur ou égal à 1. Un format égal à 1 est caractéristique d'un carré. Plus le format est grand, plus le rectangle est « allongé ».

Rectangles remarquables

Carré

Un carré est un rectangle particulier dont les quatre côtés ont la même longueur.

Rectangle d'or

Format d'un rectangle

Voir format A4 et divers formats d'écran de TV ou ordinateur.

Annexes

Bibliographie

• Patricia Rulence-Pâques, Perception de surface et inférence de surface : le cas de la surface du rectangle, EHESS, Université Paris 5, 1996 (thèse de doctorat de Psychologie)

Filmographie

• Rectangle et rectangles, séquence de 8' 29 s, 1984, du film canadien Geometry on the move, playing with shapes and forms / Géométrie en mouvement, jeux et forme, réalisé par Gayle Thomas, René Jodoin et Norman McLaren, Office national du film du Canada, 2006 (DVD)

Sources et références

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