Résolution de l'équation de Kepler

Résolution de l'équation de Kepler

Résolution de l'équation de Kepler

Dans le mouvement keplerien, l'équation de Kepler relie l'anomalie moyenne M = nt à l'anomalie excentrique E par l'équation

M = E - e \cdot \sin E

où e est l'excentricité de la planète.

Résoudre cette équation, c'est trouver E(e,M) :

  • comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de M
  • comme série de puissance de e, si e < eo := 0.6627..., rayon de convergence de la série.
  • comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (d), pour un temps de calcul tc(d) optimisé.

Sommaire

Série de Fourier

C'est Lagrange qui trouve l'expression, bien que le nom Jn(x) soit associé au nom de Bessel.

  • E-M = fonction impaire périodique de M :

E-M = e\cdot sinE = 2 \cdot \Sigma_{n=1} \frac{J_n(ne)}{n} \sin(nM)

Jn(x) est la fonction de Bessel de 1ere espèce.

  • il est facile d'en déduire (a/r)-1 = 2 \Sigma_{n=1}J_n(ne)\cdot \cos (nM)

Série entière de l'excentricité

C'est encore Lagrange qui trouve la solution ; et Laplace donnera le rayon de convergence.Cauchy fonde la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux, qui verra son aboutissement avec les travaux de Puiseux.

E-M = \Sigma_{n=1} {e^n \over n!}\cdot a_n(M)

avec \ a_n(M) = D^{n-1} (\sin^n M) et D := opérateur dérivée.

C'est l'application du théorème d'inversion de série de Lagrange.

  • Le rayon de convergence minimum de la série (atteint pour M= Pi/2) est : eo = 0.6627434193

tel qu'indiqué par Laplace (1823) et démontré par Cauchy et Puiseux :

  • e_o = 2 {\sqrt{x(1-x)}\over {1-2x}} et x tel que {1-x \over x} = exp ({2 \over 1-2x}).

Ceci rend cette formule inapplicable pour déterminer la position des comètes, dont l'excentricité est souvent voisine de 1.

Cas des comètes : e > \ e_o

Le premier à se confronter au problème est Horrocks, puis surtout Halley (1705), pour les calculs sur sa comète d'excentricité e = 0,9673.

Il faut modifier légèrement la solution de Barker (e = 1). Et Bessel(1805) résout ce cas, mais pour e > 0.997

Gauss (1809) s'illustra en donnant une belle solution pour 0,2 < e < 0,95

Autant dire que le voisinage de (0,95 ; 0,98) est fertile à problèmes, en cas d'itération !

Calcul numérique

L'équation de Kepler peut être résolu à l'aide d'un Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction. Les méthodes du type encadrement, Méthode de dichotomie , Méthode de la fausse position nécessitent un encadrement de départ dans lequel la racine est présente. Du fait de la périodicité et la parité de l'équation de Kepler, il est toujours possible de ramener l'intervalle de départ à [0; Pi]. Ceci fournit un encadrement de départ pour ces méthode, mais il est aisé d'en trouvé de plus fins.

Les méthodes du type point fixe nécessitent une estimation de départ de la racine, le germe de la méthode E0, pour lancer les calculs: il en existe de multiples dans la littérature, dont la plus simple est E0=M.

La méthode de type point fixe la plus simple, celle utilisé par Kepler, est:

E_0=M~
E_{n+1} = E_n + e \cdot \sin E_n \text{ pour } n=0,1\ldots

converge lentement lorsque e est proche de 1. Il est alors avantageux de lui adjoindre un algorithme d'accélération de la convergence :le Delta-2 de Aitken, par exemple, ou la variante de Steffensen.

L'équation de Kepler se prête particulièrement bien aux algorithmes nécessitant le calcul des dérivées successives élevés, du fait du faible cout en calcul machine nécessaire. En effet:

f(E)= E - e \cdot \sin E-M
f'(E)= 1 - e \cdot \cos E
f''(E)= e \cdot \sin E
f'''(E)= e \cdot \cos E
\ldots

Les dérivées suivantes se déduisant cycliquement des précédentes. Les variantes de la Méthode de Newton et de Halley d'ordre plus élevés sont donc très performantes dans ce cas. Il est à noter que ces méthodes peuvent dans certains cas avoir des difficultés à converger (e proche de 1 et M proche de 0). Il est préférable dans ces zones soit de proposer une valeur de départ moins grossière (germe de Mikkola), soit de brider les méthodes itératives pour les forcer à converger (modification de Hamming de la méthode de Newton).


Les calculs via les intégrateur symplectiques exigent de rester toujours en butée du nombre de digits, dans le moindre coût de calcul.
Depuis 300 ans, on cherche la « meilleure » méthode. Elle reste à trouver !

Bien sûr, cela dépend beaucoup du doublet (M,e), M compris entre 0 et Pi et de e, surtout quand e est voisin de 1.

Nijenhuis (1991) adopte la methode de Mikkola (1987) qui est la méthode de Newton d'ordre 4, en choisissant « adéquatement » le germe Eo en fonction du doublet (M,e).

Il est clair que dans les calculs numériques, le volume de calculs est essentiel, autant que le nombre de décimales, vu l'instabilité du système solaire évaluée à un coefficient de Liapunov de 10^(t/5Myr). On se heurte à une muraille exponentielle : difficile d'aller plus loin que 25 Myr, même avec un traitement 128 bits.

Ce sont ces calculs (astronomiques... mais informatisés) qui tournent sur les machines de l'IMCCE-Paris. Le calcul de l'ensoleillement terrestre à la latitude 65°Nord, I(65,t) est calculé et on essaie d'en déduire la corrélation avec le climat passé : l'échelle géologique jusqu'au Néogène (25M ans) en est déduite (échelle géologique Gradstein 2004). Prochaine étape prévue : les 65 M ans.

Histoire des sciences

Avant Kepler, l'équation est déjà étudiée ! bien sûr, pas pour le même problème, mais pour la même équation :

c'est le problème de la réduction des coordonnées locales aux cordonnées géocentriques : il faut réduire la correction de parallaxe. Habash al Hasib s'y est déjà attaqué.

Avant 1700, il y a déjà beaucoup de tentatives : Kepler naturellement, Curtz (1626), Niele, Bouillau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665?), Wren (1658), Wallis (1659),... De toutes, celle de Jeremiah Horrocks (1638) est de plus grande beauté. Cf le Colwell, déjà cité.

Voir aussi

Bibliographie

  • Colwell (1993) : Solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, ISBN 0-943396-40-9
  • Brinkley (1803) : Trans roy irish ac, 7,321-356.
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