Équation de kepler

Équation de Kepler

En astronomie, l'équation de Kepler est une formule liant l'excentricité e et l'anomalie excentrique E à l'anomalie moyenne M. L'importance de cette équation est qu'elle permet de passer de paramètres dynamiques du mouvement d'un astre (l'anomalie moyenne) a les paramètres géométriques (l'anomalie excentrique).

Sa démonstration est simple et fait appel au calcul de l'aire d'un secteur d'ellipse, dont le sommet est occupé par un des deux foyers, par deux méthodes différentes, dont l'une faisant appel à la loi des aires et l'autre en calculant l'aire de ce secteur elliptique projeté sur le cercle principal de l'ellipse. On obtient alors après simplification, en sachant que T est la période orbitale :

$E - e \cdot \sin{(E)} = M$

avec l'anomalie moyenne M définie par:

$M = n \cdot (t-t_0)$

avec n le moyen mouvement : $n = \frac {2 \cdot \pi} {T}$

t le temps et t₀ étant l'instant du passage au périastre. L'anomalie moyenne peut être aussi exprimée par:

$n = \sqrt{\frac{G \cdot\ (m_1 + m_2)} {a^3}}$

G la constante universelle de la gravitation

m₁ et m₂ les masse des deux corps

a le demi grand axe de l'ellipse $a = \frac{p} {1-e^2}$ ; p étant le paramètre de l'ellipse

L'équation de Kepler, associé au lien entre l'anomalie excentrique E et l'anomalie vraie v

$\tan{(v/2)} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tan{(E/2)}$

permet de déterminer la position au cours du temps, d'un astre sur son orbite.

En cas d'orbite hyperbolique (e>1), on peut démontrer analytiquement une relation équivalente à l'équation de Kepler:

$e \cdot \sinh{(E)}- E = M$

M est défini de la même manière que dans le cas elliptique, avec l'expression du moyen mouvement suivant:

$n = \sqrt{\frac{G \cdot\ (m_1 + m_2)} {(-a)^3}}$

L'argument E n'est plus un angle comme c'est le cas dans le mouvement elliptique. E est dans ce cas liée à l'anomalie vraie v par:

$\tan{(v/2)} = \sqrt{\frac{e+1}{e-1}} \cdot \tanh{(E/2)}$

l'équation de kepler n'est pas définie dans le cadre du mouvement parabolique (e=1). Elle est remplacée par l'équation de Barker.

$M = s + \frac{s^3}{3}$ (cette équation pouvant être résolue de manière analytique par la méthode de Cardan)

avec

s = tan(v / 2)

$M = n \cdot (t-t_0)$ et

$n = 2 \cdot \sqrt{\frac{G \cdot\ (m_1 + m_2)} {p^3}}$

Par un changement judicieux de variable, les équations de Kepler elliptiques, paraboliques et hyperboliques peuvent être regroupées en une seule équation "universelle".

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