Mouvement keplerien

Mouvement keplerien
Terrestrial planet size comparisons.jpg

En astronomie, le mouvement keplerien basé sur les trois lois de Kepler ne donne que peu d'indications sur le mouvement des planètes. Cet article se veut un approfondissement complémentaire.

Sommaire

Quelques éléments de base

Données culturelles

Les connaissances astronomiques du monde gréco-romain sont résumées par Ptolémée (+ 200 JC), transmises et améliorées par l'Empire byzantin sous le nom de « Trismegistie » (le livre du Maître), par l'Empire arabe sous le nom de l'Almageste.

Portrait allégorique de Ptolémée

Copernic (1543) fait publier le « système héliocentrique » à sa mort.

Kepler (1571-1630), grâce à l'analyse soigneuse des observations précises de son maître Tycho Brahe (1541-1601), publie ses trois célèbres lois (Cf. Lois de Kepler) en 1609, 1611, 1618. (Comme 1618 marque le début de la Guerre de Trente Ans, le reste de sa vie sera troublé).

Newton (1642-1727), certainement le scientifique le plus connu avec Einstein, démontre ces lois en 1687 (Cf. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ; Démonstration des lois de Kepler) : c'est le début d'une nouvelle ère : la mécanique céleste et la mécanique classique fondées sur le Calculus (Cf. Principia et Calculus).

Newton y ose braver un interdit : la notion d'action instantanée à distance ; la gravitation agit instantanément en 1/r². C'est le célèbre « hypotheses non fingo ». La « résistance cartésienne », plus la très grande difficulté mathématique des Principia provoquera un temps de réception assez long de son œuvre, et il faudra attendre les ouvrages d'Euler, de McLaurin et de Clairaut, pour éclaircir la situation. Néanmoins les plus grands esprits de l'époque (Huygens, Leibniz, etc ...) reconnaissent immédiatement la portée des Principia.

La constante de Gravitation sera évaluée par Cavendish en 1785 : G = 6.67 10-11 N.m²/kg². (Il y a une très grande différence expérimentale entre trouver GM, ce qui est facile, et tester la loi de Newton en mesurant G : cela est encore l'objet de recherches de nos jours (2007)).

Masse inerte et masse grave sont confondues, ce qui explique la loi de Galilée : indépendance dans la chute libre du corps pesant & inerte : fer ou plume tombent (gravitent) de même façon ! Elevée au rang de Principe d'Equivalence par Einstein en 1915, elle sera un des fondements de la Relativité Générale qui redonne une loi de Newton « corrigée » : il y a action à distance mais non instantanée (via une « distorsion de l'espace-temps », pour le dire vite ! ). (Les lois d'Einstein sont toujours sur « le grill », surtout depuis les récentes données du satellite W-map : énergie noire et matière noire sont l'essentiel de notre Univers ; autant avouer notre mauvaise compréhension actuelle de l'Univers, ceci vraisemblablement parce que la théorie quantique des équations d'Einstein n'a toujours pas été trouvée, malgré un intense travail théorique).

Données mathématiques de base

La géométrie de l'ellipse est essentielle dans l'étude du mouvement keplerien.

On rappelle que :

  • \scriptstyle p := paramètre ou demi-lactus-rectum en latin et
  • \scriptstyle e := excentricité
  • \scriptstyle a := le demi grand axe
  • \scriptstyle b := le demi petit axe
  • \scriptstyle{ c = \sqrt{a^2-b^2} } := la distance du foyer au centre.

Voir l'article Ellipse (mathématiques)#Rapport entre les grandeurs pour les relations entre ces grandeurs.

Une ellipse de jardinier (\scriptstyle{ F_1M + F_2M = 2a}) s'écrit en cartésiennes : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

C'est l'affine d'un cercle : x = a \cdot \cos \phi et y = b \cdot \sin \phi .

En coordonnées polaires, F étant pris pour origine, et la direction péricentrique comme axe de base : FM := r = \frac{p}{1 + e \cdot \cos{\theta}}.

Donc r augmente quand θ augmente de 0 à π :

  • θ = 0 [r = \frac{p}{1+e} = a-c]
  • \theta = \frac{\pi}{2} [ r = p ]
  • \theta = \frac{\pi}{2} + arctan(\frac{c}{b}) [ r = FB = a ]
  • θ = π [r = FA = \frac{p}{1-e} = a+c]

On pourra consulter l'article (conique, discussion), pour une présentation plus géométrique, centrée sur le problème de Kepler.

Données physiques de base

Le Soleil S exerce sur la planète T

la force centripète - G \cdot \frac{M_s \cdot m \cdot \overrightarrow{OM}}{OM^3}

et donc \frac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2} = -G \cdot \frac{M_s \cdot \overrightarrow{OM}}{OM^3} (m disparaît : loi de Galilée).

La force étant en - \frac{1}{r^2}, l'énergie potentielle par unité de masse est - G \cdot \frac{M_s}{r} (+ 0, convention dite à l'infini).

[Dans le cas des satellites artificiels de la Terre, on remplace G \cdot M_s → G \cdot M_T = g \cdot R^2, et l'énergie potentielle massique est - g \cdot \frac{R^2}{r}.

La deuxième vitesse cosmique est donc V_2 = \sqrt{2 \cdot g \cdot R} = 11,2 km \cdot s^{-1} .

La première vitesse cosmique est V_1 = \sqrt{g \cdot R} = 8 km \cdot s^{-1}, correspondant à une orbite circulaire basse altitude de 84 minutes, soit environ 17 tours en 1 jour].

Comme on l'a souligné G \cdot M_s ou G \cdot M_T sont très bien connus ( environ onze chiffres significatifs) mais pas G !

Conséquences de base

Le mouvement est donné une fois TMo et Vo données (6 paramètres) : c'est le Principe Fondamental de la Dynamique classique. Mais ces deux vecteurs définissent un plan (s'ils ne sont pas colinéaires, ce qui sera supposé dans la suite par souci de simplification). La solution du problème étant unique, le principe de symétrie (dit de Curie) montre que la trajectoire doit être dans ce plan (disons z = 0). Donc en fait le problème, comme dans tous les problèmes dits de champ central, est à quatre paramètres réels et non six : deux paramètres donnent la trajectoire à une isométrie près : exemples : (a et b) ou (p et e), etc. Et il en faudra un de plus pour la donnée de l'isométrie (la position du périgée en général) et un de plus pour la date de passage au périgée (ce qui fait bien quatre paramètres).

Convention d'unités

Comme on a vu ( loi de Galilée) que le problème ne dépendait pas de la masse, il est usuel de se référer à une masse unité : parfois on change de lettre, parfois non ( cf analyse dimensionnelle).

Ainsi le moment cinétique se calcule aisément Lo, et C : = Lo/m en m²/s désigne la vitesse aréolaire. Comme on ne peut distinguer la droite de la gauche, donc le sens de parcours de la planète, ce sera toujours C² qui interviendra ( en m²(m/s)² ).

De même l'énergie Eo (négative)( en joule) sera notée Eo' = Eo/m ( en vitesse*vitesse soit en (m/s)².

Enfin le paramètre GM est souvent rassemblé en une lettre k (pour dire cste de Gauss ?) en m. (m/s)²

Ainsi, il apparaît immédiatement que le problème reformulé ainsi est un problème uniquement de cinématique, bien que souvent il soit enseigné comme un problème de dynamique : c'est une confusion assez naturelle, mais dans tous les problèmes où la loi de Galilée s'applique, la masse disparaît ; tous les corps, pierre ou plume, tombent (dans le vide) de la même façon, aussi contre-intuitif que cela puisse paraître.

Le mouvement keplerien étant périodique, on appelle souvent T la période de révolution et \omega = \frac{2\pi}{T} la pulsation ou cadence en rad/s du mouvement. Si on choisit T comme unité de temps ( cela a été la norme internationale du S.I. de 1951 à 1961), alors k et ω définissent le système d'unités naturel du problème : en particulier, l'unité de longueur est souvent nommée a :

\omega^2 \cdot a^3 = GM = k

est la formule de la troisième loi de Kepler datant de 1618.


Alors, une fois acquis ces préalables, il est démontré dans l'article Lois de Kepler que la géométrie de l'ellipse est donnée par :

  • le grand axe 2a : = f(C^2, Eo', k) ne dépend pas de C ! et est donc le monôme -k/E'o) *cste (Cf. le théorème PI) : cette cste vaut 1 :

2a = \frac{k}{-E_0'}

(calculable aisément via le cas d'une trajectoire circulaire)

  • le paramètre p, lui, ne dépend pas de Eo et est donc le monôme C²/k * cste : la cste vaut 1 :

p = \frac {C^2}{k}

(formule calculable aisément aussi via le cas circulaire)

\vec e = - \vec u + \frac {\vec v \wedge \vec C}{k}

Il est constant, dirigé vers le périgée et de module e, l'excentricité et donc :

1-e^2= \frac{p}{a}

Les trois lois de Kepler et ces trois formules permettent de comprendre la plupart des problèmes, (en particulier les problèmes de balistique extérieure et ceux des satellites artificiels).

Remarque : les valeurs de a et p viennent rapidement de Leibniz (1689) par l'intermédiaire de « son » théorème de l'énergie cinétique :

E_o = \frac {\dot r^2}{2} + \frac{C^2}{2r^2}- \frac{k}{r}

où le terme \frac{C^{2}}{2r^2} désigne la barrière centrifuge,

ce qui correspond à une équation différentielle de Newton, dite de Leibniz : \ddot{r} = -\frac{k}{r^2} + \frac{C^2}{r^3}

qui a été étudiée en cinématique (Cf. diagramme horaire, mouvement de Leibniz).

L'importance du vecteur excentricité fût soulignée par Hermann (1710 & 1713)), redécouverte par Laplace, puis réutilisée par Runge et Lenz (Cf. vecteur de Runge-Lenz). Elle a fait couler des flots d'encre, et continue à le faire.

Equation du temps de Kepler

Tout cela rappelé, il est évident que celui qui parle du mouvement de Kepler, veut parler de la manière dont la planète se meut sur sa trajectoire.

Certes TOUT est dit dans la deuxième loi de Kepler : la vitesse aréolaire est constante ; il suffit donc de mesurer la date de passage au périgée P, disons t=0, la date actuelle, disons t, de tracer le secteur S(t), POM, de taille pi.a.b.t/T et on aura la position de la planète via le vecteur OM.

Cet article veut expressément aller un peu plus loin, pour ceux qui le désirent.

C'est-à-dire expliciter quelques formules dont les astronomes ont besoin pour tracer ce fameux secteur S(t) ; car si la phrase précédente est exacte, elle recouvre pas mal de calculs plus délicats et des problèmes de recherche actuels non résolus, malgré l'ancienneté du problème.

  • En effet, les équations du mouvement sont plus difficiles.

L'habitude est de passer par l'anomalie excentrique (:= phi) :

elle est reliée à theta angle polaire par la relation : tan {\theta \over 2}= tan {\phi \over 2}\sqrt \frac{1+e}{1-e}.

(un peu de géométrie permet de le démontrer ; on vérifiera les cas particuliers simples).

Et TM := r = a (1- e \cdot \cos \phi).

En un tour, de durée T, phi varie de 2Pi :

\omega t = \phi - e \cdot \sin \phi.

Cette formule s'appelle équation du temps de Kepler

Rappel : la pulsation w = 2.Pi/T dépend de a mais pas de l'excentricité e, donc se calcule via un mouvement circulaire :

-\omega^2 a = - \frac{k}{a^2}.(troisième loi de Kepler)

L'équation de Kepler et son inversion

Durant trois siècles, les mathématiciens se sont préoccupés de trouver theta(t), puisque l'observable la plus facile à repérer est la position du Soleil dans le ciel. Passer de theta à phi et réciproquement est aisé. Par contre \omega t = \phi - e \cdot \sin \phi s'inverse difficilement (Cf. COLWELL, solving Kepler's equation over three centuries ; ed Willmann-Bell, 1993)

L'article Résolution de l'équation de Kepler donne :

  • Le développement de Fourier de phi(t) avec comme coefficients les fonctions de Bessel Jn(ne). Comme ϕ(t) est une fonction impaire, elle s'exprimera uniquement sur la base réduite des sin (k ωt) :

\phi(t) = \omega \cdot t +2 \cdot \Sigma_1^{\infty} [J_n(n e)/n]\cdot \sin n\omega t

  • Le développement en série de l'excentricité e :

\phi(t) = \omega \cdot t + \Sigma_{1}^{\infty} A_k(\omega t) e^k pour e assez petit :

e < E max = 0.662[1].

Quelques démonstrations géométriques historiques

Article détaillé : Histoire du mouvement keplerien.

Il a été proposé douze démonstrations historiques que l'on pourra retrouver sous un autre article, par souci de clarté.

Les échelles de temps et dualité

la dualité (r & ϕ) et (u & θ) est directement liée aux échelles de temps (Cf. échelle de temps en mécanique classique).

  • En effet, la loi des aires étant connue, il apparaît logique de prendre comme échelle de temps d\theta(t) = \frac{C}{r^2}dt . Alors il vaut mieux choisir u : = 1/r comme fonction inconnue ; c'est la méthode de Clairaut-Binet, avec l'anomalie vraie (l'angle polaire).
  • Mais tout aussi logique est l'échelle de temps d\phi = C/r \cdot dt. Alors ce qui convient le mieux est la fonction inconnue r : c'est la méthode de l'anomalie excentrique.
  • Assez curieusement, ce changement de dt intervient aussi dans le phénomène d'aberration de la lumière traité en mécanique relativiste. L'explication, assez subtile, est : les deux sont reliés à SO(3,1)

Évidemment, on pense aussi à d\psi = C/r^3 \cdot dt . Cela correspond-il à quelque « réalité » géométrique ? la réponse est oui ! l'Hodographe est un cercle avec le centre de force à l'intérieur. Cet Hodographe est parcouru selon la loi des aires ! et ψ est le bon paramétrage.

  • Remarque : Tout ceci est lié avec des calculs de moyenne de (1/r)^k en mécanique quantique de l'atome d'hydrogène.

Dans l'article échelle de temps en mécanique classique, est discuté un autre aspect de ces changements d'échelle.

Hooke et Kepler, ou de Thomson à Rutherford

z→z² dans le plan complexe de la trajectoire est aussi une très jolie démonstration, très proche sans doute de celle du deMotu. La présentation sera celle de V.I. Arnold (1990, ed Birkhauser). Voir aussi Needham (Visual Complex Analysis). Goursat (CRAS,1889)

Partir de la définition de la Hire d'une ellipse (H), [H, pour Hooke] :

2z = (a+b) \cdot exp (i\omega t) + (a-b) \cdot exp-(i\omega t)

C'est une ellipse de Hooke, parcourue sous l'action de l'accélération centrale :-\omega^2\vec{OP}.

Effectuons la transformation conforme Z = z² :

4Z = (a+b)^2 \cdot exp(2i \omega t + (a-b)^2 \cdot exp-2i \omega t + 2(a^2-b^2).

C'est encore une ellipse de la Hire, la dénommer (K) [K pour Kepler] ! mais d'excentricité différente E = C/A = c²/ab, et cette fois, le point O est le FOYER de l'ellipse. D'autre part, la période de l'orbite est T/2 !

Elle est encore décrite selon la loi des aires par rapport à O ! et donc d'après Clairaut-Binet-Siacci-Hamilton la force est newtonienne !

Prenons comme loi de force celle de la théorie de Thomson (théorie dite de l'électron élastiquement lié). La simple transformation conforme Z = z² la transmute en la théorie de Rutherford de l'électron planétaire autour d'un noyau central.

Conséquences quantiques

Pauli (1925) a vite compris le parti qu'il pouvait tirer de cette correspondance : son camarade, Heisenberg, venait de quantifier l'oscillateur harmonique, facilement généralisable en 3D. Il restait à faire « Z = z^2 ».

C’est-à-dire à comprendre les symétries de l'oscillateur 3D et celle de l'atome d'hydrogène. Évidemment il trouva comme invariant L, le moment cinétique ; mais aussi le vecteur excentricité E (« perpendiculaire à L »).

Pour une énergie négative, cela correspondait à une symétrie SO(4), et pour une énergie positive à une symétrie SO(3,1) qu'il connaissait bien, puisqu'il s'agit du groupe des transformations de Lorentz, qu'il avait si bien décrit à l'âge de vingt-et-un ans dans la célèbre Handbuch der Physik, et dont les générateurs infinitésimaux étaient bien connus (les six rotations infinitésimales dans l'espace de Minkowski donnent (Cf. Jackson, Electromagnétisme, ed Dunod, 2000 ou bien Goldstein, mécanique classique) le moment cinétique généralisé ( L, K) avec L. K = 0. Il en résulte une résolution immédiate et élégante de l'équation de Schrodinger, analogue quantique de celle de Hermann (1710) (voir Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène).

D'autre part le Z= z² se traduit par le fait que les Polynômes d'Hermite orthogonaux avec une densité de mesure en exp-(x^2+y^2+z^2). dx dy dz = r^2.exp-r^2 .dr se retrouvent en correspondance avec les polynômes de Laguerre orthogonaux avec une densité de mesure en exp(-r. dr). Bander & Itzykson (Rev.Mod.Phys 1966,38,330-345) passent en revue cet aspect inattendu de la correspondance Hooke-Kepler.

Évidemment, pour une énergie positive, la symétrie de groupe est celle de SO(3,1), ce qui brouille quelque peu les cartes : le spectre continu de l'atome d'hydrogène n'est pas aussi simple que son spectre discret, non plus que les fonctions propres.

Perturbations du mouvement keplerien

Évidemment ce qui est intéressant dans la réalité est le mouvement réel des planètes, qui se perturbent l'une l'autre.

De même dans le cas des satellites artificiels, on peut tirer beaucoup de renseignements par la géodésie spatiale, sur la forme exacte de la Terre et son évolution.

Pour des raisons de taille, cela est reporté à un article ultérieur.

Sources

  • Danjon : cours de cosmographie de mathématiques élémentaires,1950
  • Maillard et Millet : cours de cosmographie de mathématiques élémentaires, 1956
  • Wintner : analytical foundations of celestial mechanics, 1941, Princeton
  • Densmore, Newton's Principia, 1995, ed Green Lion Press, (ISBN 1-888009-01-2)
  • Brackenridge, Key to Newton's dynamics, 1995, u California p, (ISBN 0-520-20065-9)
  • Guicciardini, reading the Principia ,1999, CUP, (ISBN 0-521-64066-0)
  • Cordani, the Kepler problem, 2003, ed Birkhauser, (ISBN 3-7643-6902-7)
  • J. Keill, philosophical transactions, 26/1 (1708), 174.
  • Hermann, Histoires de l'Académie Royale des Sciences, paris (1710), 519-544.
  • Leibniz, Tentamen de Motuum, Acta Eruditorum (1689), 82-96
  • Varignon, mémoires de l'Ac Roy de Paris, (1700),280.

Notes et références

  1. ↑ Remarque d'histoire des sciences : ce résultat fût trouvé par Cauchy qui inventa exprès la méthode des séries entières de la variable complexe z pour trouver ce résultat ! [On obtient E, tel que E = 2 \sqrt{x(1-x) \frac{1}{1-2x}} et x tel que (1-x)/x = exp (2/(1-2x)), soit E = 0.662 743 419 349 182 ...(Cf. discussion pour approfondissement) !
    • Remarque numérique : à l'heure actuelle, nombreux sont les astronomes qui voudraient avoir des éphémérides très précises, ne serait-ce que pour la Terre. Un exemple parmi d'autres : on sait que pour le Développement Durable, il est intéressant de regarder le cycle des glaciations, ce qui implique une bonne connaissance des paramètres de Milanković. Ceci a été calculé par l'IMCCE de Paris pour le Néogène (les 25 derniers millions d'années). Ce résultat a servi pour calibrer l'echelle géologique mondiale 2004. Naturellement, les géologues ont été demandeurs pour remonter plus loin dans le passé ( environ 100 Myr) : mais voilà ! Il faut résoudre l'équation de Kepler, encore plus vite : si vous avez une idée, contactez l'IMCCE, c'est un problème ouvert !

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