Équation du centre

Équation du centre

En astronomie, l’équation du centre traduit, dans le cadre du mouvement elliptique, la différence entre l'anomalie vraie v et l'anomalie moyenne M.

Dans le cas du mouvement keplerien (deux astres tournant seuls, l'un autour de l'autre) cette différence est périodique, de période T égale à la période de révolution du corps orbitant autour de l'astre central. L'équation du centre s'obtient à partir de deux équations qui mettent en jeu un autre argument qui est l'anomalie excentrique E :

E - e \cdot \sin{(E)} = M (équation de Kepler)
tan{(v/2)} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tan{(E/2)}

L'équation du centre vaut C = v − M avec M=\frac{2\cdot\pi}{T}(t-t_0)

t et t0 sont respectivement le temps et l'instant du passage au périastre.

Pour calculer l'équation du centre pour une date donnée, il est nécessaire de résoudre l'équation de Kepler.

Lorsque l'excentricité e de l'orbite est faible, on peut approcher l'équation du centre par un développement limité, et ainsi éviter la résolution de l'équation de Kepler. On trouve en retenant les termes jusqu'à e6:

C=v-M=\left(2e-\frac{1}{4}e^3+\frac{5}{96}e^5\right)\cdot\sin(M)+\left(\frac{5}{4}e^2-\frac{11}{24}e^4+\frac{17}{192}e^6\right)\cdot\sin(2M)+\left(\frac{13}{12}e^3-\frac{43}{64}e^5\right)\cdot\sin(3M)+

+\left(\frac{103}{96}e^4-\frac{451}{480}e^6\right)\cdot\sin(4M)+\frac{1097}{960}e^5\cdot\sin(5M)+\frac{1223}{960}e^6\cdot\sin(6M)...

Cette série converge pour e<0.6627..., il n'est donc qu'applicables qu'aux planètes et astéroïdes de faible excentricité.

Le terme général de la série de Fourier

C=v-M=\sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin{n M}

peut être exprimé par les fonctions de Bessel de premier espèce.

b_n=\frac{2}{n}\left(J_n(ne)+\sum_{m=1}^{\infty} q^m [J_{n-m}(ne)+J_{n+m}(ne)]\right)

avec q=\frac{e}{1+\sqrt{1-e^2}}

ou bien l'expression de Greatheed[1]

b_n=2\left(q^n \exp \left({\frac{ne(q^{-1}-q)}{2}}\right)+q^{-n} \exp \left({\frac{ne(q^{-1}-q)}{2}}\right)\right)

où l'expression doit être développée suivant les puissances de q, les puissances négatives de q doivent supprimées, et les termes en q0 divisés par 2.

Références

  • Colwell (1993) : Solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, ISBN 0-943396-40-9

Notes

  1. ↑ Greatheed,S ,1837, "Investigation of the general term of the expansion of the true anomaly in terms of the mean" Cambridge Mathematical Journal, 1, 208-212

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