- Integrateur symplectique
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Intégrateur symplectique
En mécanique hamiltonienne, qui est souvent le cas de la mécanique céleste, on a souvent intérêt à écrire le système à étudier sous la forme d'une action I et d'un angle φ, de manière à ce que le système différentiel se réduise à : x := (I, φ) et :
![\dot{x} = L x : = [H, x]](/pictures/frwiki/97/ab9a83e637ded375646a68cfb244e98e.png)
,où l'on a noté :
[f, g] crochet de Poisson de f et g .
On voudrait connaître la solution formelle x(t) = exp{L t} x(0).
Le système est alors dit intégrable. cf discussion, provisoirement.
Le Théorème de Ramis-Morales a permis de faire de gros progrès dans cette direction.
On se contente souvent d'une approximation pour des temps "petits" : on a alors affaire à un intégrateur symplectique.
Sommaire
Traitement perturbatif
Souvent H = A + ε B , où A est intégrable et B est une perturbation intégrable souvent aussi, et ε un réel très petit. Appelons L l'opérateur de Liouville de A et M l'opérateur de Liouville de B :
Alors le problème est de calculer exp{L + ε M} t qui hélas est différent de exp{L t} .(exp Mt)ε
Le cas classique en mécanique céleste est la perturbation de Saturne par Jupiter. Mais on peut aussi bien tester la méthode sur une particule dans un puits de potentiel.
Évidemment, il y a deux possibilités : la formule de Trotter ou la formule de Campbell-Hausdorff.
Ou bien des formes raffinées de combinaison des deux adéquates.
L'idée forte est la suivante: t est petit; faire une théorie au énième ordre , conduit à une erreur O( tn ε) ou plus exactement O(tn ε +t² ε²): on a intérêt à pousser la méthode jusqu'à l'ordre n tel que :
- t(n-2) = ε
Dans certains cas , dits symétriques, on peut l'améliorer en t(n-4) = ε.
Un cas simple : l'oscillateur harmonique
On peut commencer par tester la méthode sur l'oscillateur harmonique, qui, on le sait, est le test usuel.
On continuera avec le pendule simple.
Pendule simple
Cette fois , en coordonnées réduites , A = p²/2 et B = 1 - cos q . Le système est intégrable exactement,via les fonctions de Jacobi, mais nous préférons prendre A = p²/2 + ε q²/2 et B = 1 - cos q - q²/2
L'opérateur A est donc celui d'un oscillateur harmonique, et B joue le rôle de perturbation, si les oscillations sont pendulaires. Dans le cas de tournoiement , le problème de la "séparatrice" ne peut se régler simplement , car l'intégrateur symplectique ne conserve pas rigoureusement l'énergie. Il vaut mieux alors se tourner vers la solution du pendule simple discret.
Autre méthode
Quand le système possède une certaine symétrie temporelle, un dernier terme correcteur permet d'atteindre le résultat à O( tn ε + t⁴ ε²). On gagne alors en précision.
Voir aussi
- Mécanique hamiltonienne
- Crochet de Poisson
- Système intégrable
- Théorème KAM
- Théorie des perturbations
- Mouvement central discret
- Mouvement keplerien
- Pendule simple
- Analyse numérique
Références
- Laskar et Robutel, Celestial mechanics, 80, 39-62, 2001.
- Koseleff, Lectures notes in Comput Sci, n°673, ed Sp , 1993
- Wisdom et Holman , Integration algorithms and classical mechanics, 1996.
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