- Complément d'un sous-groupe
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Sommaire
Définition
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on dit[1] qu'étant donné un sous-groupe H d'un groupe G, un sous-groupe K de G est un complément de H dans G si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
- 1)
- 2)
(où 1 désigne le sous-groupe de G réduit à l'élément neutre).
Par exemple en passant aux inverses, on vérifie facilement que la condition 1) équivaut à KH = G; d'autre part, il est clair que la condition 2) équivaut à
Dès lors, dire que H est un complément de K revient à dire que K est un complément de H. Cela revient encore à dire que tout élément de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme hk, avec h dans H et k dans K.
Si H et K sont compléments l'un de l'autre dans G, la formule du produit (théorie des groupes) donne
Exemples et contre-exemples
- Soient G un groupe fini, H et K deux sous-groupes de G dont les ordres
et
sont premiers entre eux et tels que
; alors H et K sont compléments l'un de l'autre dans G. En effet,
est sous-groupe de H et de K, donc son ordre
divise les ordres de H et de K; puisque ces deux derniers ordres sont premiers entre eux,
est donc égal à 1, donc la condition 2) de la définition est satisfaite. D'autre part, d'après la formule du produit (théorie des groupes), l'ensemble HK a pour cardinal
donc la condition 1) de la définition est elle aussi satisfaite.
- Si un groupe G est produit semi-direct d'un sous-groupe H par un sous-groupe K, H et K sont des compléments l'un de l'autre dans G. C'est le cas en particulier si G est produit direct de H et de K.
- Si p désigne un nombre premier et n un nombre naturel, l'ensemble des sous-groupes du groupe cyclique Z/pnZ est totalement ordonné par inclusion. Il en résulte qu'aucun sous-groupe propre et non nul de Z/pnZ n'a de complément dans Z/pnZ.
- Plus généralement, si G est un groupe cyclique (nous prendrons ici cette expression au sens de groupe monogène fini), un sous-groupe H de G admet un complément dans G si et seulement si c'est un sous-groupe de Hall de G (c'est-à-dire si
et
sont premiers entre eux).
DémonstrationProuvons d'abord que si un sous-groupe H du groupe cyclique G n'est pas un sous-groupe de Hall de G, H n'a pas de complément dans G. Supposons que, par absurde, H ait un complément K dans G. D'après une remarque faite plus haut,
donc
Puisque H est supposé ne pas être un sous-groupe de Hall de G, il existe donc un nombre premier p qui divise à la fois <math<\ \vert H \vert </math> et <math<\ \vert K \vert </math>. Par exemple d'après le théorème de Cauchy (ou encore parce que H et K sont cycliques et que, pour tout diviseur d de l'ordre d'un groupe cyclique, ce groupe admet un sous-groupe d'ordre d), H admet un sous-groupe PH d'ordre p et K admet un sous-groupe PK d'ordre p. Le groupe G, étant cyclique, admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, donc PH et PK sont égaux, donc
donc H et K ne sont pas complémentaires,
Prouvons maintenant que si H est un sous-groupe de Hall du groupe cyclique G, H admet un complément dans G (ce qui est d'ailleurs un cas particulier d'un théorème de Philip Hall). Puisque G est cyclique, il admet un sous-groupe d'ordre d pour tout diviseur d de son ordre, donc il admet un sous-groupe K d'ordre
Puisque H est supposé être un sous-groupe de Hall de G, les ordres de H et de K sont premiers entre eux. D'autre part, ces ordres ont pour produit l'ordre de G, donc, d'après le premier exemple, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G.
Puisqu'un groupe cyclique admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, le complément de H est unique dans ce cas.
- Un sous-groupe propre et non nul du groupe additif
des nombres rationnels n'a pas de complément dans
. (En effet, deux sous-groupes non nuls de
ont toujours un élément non nul en commun, car si a/b est un élément du premier et c/d un élément du second, avec a, b, c et d entiers rationnels non nuls, ac appartient aux deux sous-groupes.)
Notes et références
- Voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover 1987, p. 137.
Articles connexes
- 1)
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