- Problème de Dirichlet
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En mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique définie sur un ouvert
de
prolongeant une fonction continue définie sur la frontière de l'ouvert
. Ce problème porte le nom du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Sommaire
Exposé du problème
Soit
un ouvert de
et
sa frontière.
Soit
continue.
Peut-on trouver
telle que :
de classe
et
(
vérifie l'équation de Laplace)
continue sur
sur
Il n'existe pas toujours de solution au problème de Dirichlet.
Solutions au problème
Exemple : solution sur un disque dans
Dans cette partie :
Le disque de centre 0 et de rayon 1.
Dans le cas précis du disque dans
, il existe une solution au problème de Dirichlet :
On a toujours
continue sur
On pose :
(ou
est le tore)
La solution est
définie telle que :
Où
est coefficent de la Série de Fourier de la fonction g.
Preuve :
La continuité de la fonction ainsi que le fait qu'elle soit réelle découle des résultats sur les sommations de Poisson, liés aux séries de Fourier.
vérifie l'équation de Laplace car elle en fait la partie réelle d'une fonction analytique. On remarque en effet que
s'exprime comme la somme de deux fonctions analytiques et qu'elle est réelle. Or la partie réelle d'une fonction analytique vérifie toujours l'équation de Laplace.
Unicité de la solution
Lorsque le problème admet une solution, celle-ci est unique.
Preuve :
Soient
et
deux fonctions définies de
sur
telles que
et
répondent au problème de Dirichlet.
On pose
Calculons
où
est un élément infinitésimal de
On obtient :
Or
On applique à présent le théorème de la divergence et obtient :
où
est le vecteur normal à la surface
et
un élément infinitésimal de
car
sur
Conclusion :
et donc
,
est constante, et par continuité
sur
car
sur
Forme de la solution générale
On a l'équivalence suivante :
int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \Phi}{\partial x_i})^2 dA \end{matrix}\right. " border="0">
Le premier sens de l'équivalence se prouve de manière similaire à l'unicité de la solution.
Dirichlet avait déjà trouvé cette équivalence et il en avait déduit que le problème avait toujours une solution (c'est ce qu'on appelle le principe de Dirichlet). En effet, il lui semblait évident que l'on pouvait minimiser l'intégrale. Riemann et Gauss étaient de son avis. Weierstrass montra avec un contre-exemple que ce n'était pas toujours possible.
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