Problème de Dirichlet

Problème de Dirichlet: En mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique définie sur un ouvert $\Omega\,$ de $\mathbb R^n$ prolongeant une fonction continue définie sur la frontière de l'ouvert $\Omega\,$ . Ce problème porte le nom du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Sommaire

1 Exposé du problème

2 Solutions au problème

2.1 Exemple : solution sur un disque dans

2.2 Unicité de la solution

2.3 Forme de la solution générale

3 Article connexe

Exposé du problème

Soit $\Omega \,$ un ouvert de $\mathbb R^n$ et $\partial \Omega$ sa frontière.

Soit $G : \partial \Omega \mapsto \mathbb R$ continue.

Peut-on trouver $\Phi : \Omega \mapsto \mathbb R$ telle que :

$\Phi\,$ de classe $\mathcal C^2$ et $\nabla^2 \Phi = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_2^2} + ... + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_n^2} = 0$ ( $\Phi\,$ vérifie l'équation de Laplace)

$\Phi\,$ continue sur $\bar{\Omega }$

$\Phi = G\,$ sur $\partial \Omega$

Il n'existe pas toujours de solution au problème de Dirichlet.

Solutions au problème

Exemple : solution sur un disque dans $\mathbb R^2$

Dans cette partie : $\Omega =D(0,1)\,$ Le disque de centre 0 et de rayon 1.

Dans le cas précis du disque dans $\mathbb R^2$ , il existe une solution au problème de Dirichlet :

On a toujours $G : \partial D \mapsto \mathbb R$ continue sur $\partial D$

On pose : $g : \begin{matrix} \Pi & \mapsto & \mathbb R \\ \theta & \mapsto & G(\cos \theta, \sin \theta) \end{matrix}$ (ou $\Pi\,$ est le tore)

La solution est $\Phi : D \mapsto \mathbb R$ définie telle que :

$\Phi(r\cos \theta ,r\sin \theta ) = \left\{\begin{matrix} \sum_{n \in \mathbb Z} C_n(g)r^{\left| n \right|}e^{ni \theta}, & \mbox{si } r<1\\ g(\theta ), & \mbox{si }r = 1 \end{matrix}\right.$

Où $C_n(g)\,$ est coefficent de la Série de Fourier de la fonction g.

$C_n(g) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi } g(\theta ) e^{-in \theta} d\theta$

Preuve :

La continuité de la fonction ainsi que le fait qu'elle soit réelle découle des résultats sur les sommations de Poisson, liés aux séries de Fourier.

$\Phi \,$ vérifie l'équation de Laplace car elle en fait la partie réelle d'une fonction analytique. On remarque en effet que $\Phi \,$ s'exprime comme la somme de deux fonctions analytiques et qu'elle est réelle. Or la partie réelle d'une fonction analytique vérifie toujours l'équation de Laplace.

Unicité de la solution

Lorsque le problème admet une solution, celle-ci est unique.

Preuve :

Soient $\Phi \,$ et $\Psi \,$ deux fonctions définies de $\Omega \,$ sur $\mathbb R$ telles que $\Phi \,$ et $\Psi \,$ répondent au problème de Dirichlet.

On pose $\omega = \Phi - \Psi \,$

Calculons $\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \omega}{\partial x_i})^2 dA \quad$ où $dA\,$ est un élément infinitésimal de $\mathbb R^n$

On obtient : $\int_{\Omega} ( \sum_{i=1}^n \frac{\partial (\omega \frac{ \partial \omega}{\partial x_i})}{\partial x_i} - \omega \nabla^2 \omega )dA$

Or $\nabla^2 \omega = \nabla^2 \Phi - \nabla^2 \Psi = 0 \,$

On applique à présent le théorème de la divergence et obtient :

$\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \omega}{\partial x_i})^2 dA = \int_{\partial \Omega} \omega(\sum_{i=1}^n \frac{\partial \omega}{\partial x_i}s_i) dS \quad$ où $\vec s=(s_1,s_2,...,s_n)$ est le vecteur normal à la surface $\partial \Omega$ et $dS\,$ un élément infinitésimal de $\partial \Omega$

$\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \omega}{\partial x_i})^2 dA = 0 \quad$ car $\omega = 0 \,$ sur $\partial \Omega$

Conclusion :

$\sum_{i=1}^n (\frac{\partial \omega}{\partial x_i})^2 = 0$

et donc $\forall i=1,...,n\quad \frac{\partial \omega}{\partial x_i}=0$ , $\omega \,$ est constante, et par continuité $\omega = 0 \quad \,$ sur $\Omega \,$ car $\omega=0\,$ sur $\partial \Omega$

Forme de la solution générale

On a l'équivalence suivante :

$\Phi \mbox{ solution au probl}\grave{\mbox{e}}\mbox{me de Dirichlet} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \forall \Psi \mbox{ continue et de classe } \mathcal C^n \mbox{ sur } \Omega \ \grave{a} \mbox{ valeur dans } \mathbb R \mbox{, prolongeant G} \\ \\ \displaystyle\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \Psi}{\partial x_i})^2 dA > \int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \Phi}{\partial x_i})^2 dA \end{matrix}\right.$

Le premier sens de l'équivalence se prouve de manière similaire à l'unicité de la solution.

Dirichlet avait déjà trouvé cette équivalence et il en avait déduit que le problème avait toujours une solution (c'est ce qu'on appelle le principe de Dirichlet). En effet, il lui semblait évident que l'on pouvait minimiser l'intégrale. Riemann et Gauss étaient de son avis. Weierstrass montra avec un contre-exemple que ce n'était pas toujours possible.

Article connexe

Théorème de Radó

Portail de l'analyse

Catégories :
Équation aux dérivées partielles
Théorie de Fourier

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Problème de Dirichlet de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Probleme de Dirichlet — Problème de Dirichlet En mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique définie sur un ouvert de prolongeant une fonction continue définie sur la frontière de l ouvert . Ce problème porte le nom du mathématicien… … Wikipédia en Français
Problème de dirichlet — En mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique définie sur un ouvert de prolongeant une fonction continue définie sur la frontière de l ouvert . Ce problème porte le nom du mathématicien allemand Johann Peter… … Wikipédia en Français
DIRICHLET (P. G. LEJEUNE-) — Avec son ami et contemporain Jacobi et son cadet de quelques années Kummer, Dirichlet constitue la première génération des mathématiciens allemands après Gauss, dont naturellement ils subissent très fortement l’influence; mais, alors que celui ci … Encyclopédie Universelle
Probleme bien pose — Problème bien posé Le terme mathématique de problème bien posé provient d une définition de Hadamard. Il pensait que les modèles mathématiques de phénomènes physiques devraient avoir les propriétés suivantes : Une solution existe La solution … Wikipédia en Français
Problème mal posé — Problème bien posé Le terme mathématique de problème bien posé provient d une définition de Hadamard. Il pensait que les modèles mathématiques de phénomènes physiques devraient avoir les propriétés suivantes : Une solution existe La solution … Wikipédia en Français
Dirichlet — Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Pour les articles homonymes, voir Dirichlet (homonymie). Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( … Wikipédia en Français
Problème bien posé — Le concept mathématique de problème bien posé provient d une définition de Hadamard qui pensait que les modèles mathématiques de phénomènes physiques devraient avoir les propriétés suivantes : Une solution existe La solution est unique La… … Wikipédia en Français
Dirichlet density — This article is not about the Dirichlet distribution of probability theory. In mathematics, the Dirichlet density (or analytic density) of a set of primes, named after Johann Gustav Dirichlet, is a measure of the size of the set that is easier to … Wikipedia
Problème de Plateau — Les films de savons, étudiés par Joseph Plateau, sont une solution naturelle au problème de Plateau. En mathématiques, le problème de Plateau consiste à montrer, un bord étant donné, l existence d une surface minimale s appuyant sur ce bord. Il… … Wikipédia en Français
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet — Pour les articles homonymes, voir Dirichlet (homonymie). Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Naissance … Wikipédia en Français

Mark and share
Search through all dictionaries
Translate…
Search Internet

Share the article and excerpts