Pression atmosphérique

Stabilité et instabilité

En règle générale la pression atmosphérique diminue de moitié à 5500 mètres et la température moyenne de l'atmosphère diminue de 6.5 °C par 1000 mètres. Ces propriétés peuvent être démontrées rigoureusement si l'on fait l'hypothèse que l'atmosphère est en équilibre (ce qui n'est pas vrai en pratique).

Lorsque le sol est chauffé par le soleil, par convection, les basses couches de l'atmosphère sont réchauffées et comme l'air chaud est moins dense, l'air réchauffé va avoir tendance à s'élever. Si la poche d'air chaud se refroidit moins vite que l'air environnant, cette parcelle d'air va accélérer vers le haut. On est en présence d'une masse d'air instable. Si dans le cas contraire, l'air en ascension devient plus froid que l'air environnant, le mouvement ascendant va s'interrompre. L'atmosphère est alors stable. Le taux de refroidissement de la masse d'air en ascension peut être calculé et donc on peut déterminer à partir d'un sondage si l'air est stable ou non. On effectue l'hypothèse qu'il n'y a pas de condensation de vapeur d'eau et qu'il n'y a pas d'échange calorique avec l'air extérieur.

Utilisation des principes de la thermodynamique

On suppose que l'air est un gaz parfait et donc p V = n RT où p est la pression, V est le volume, n est le nombre de moles dans le volume, R est la constante des gaz parfaits et T est la température.

On suppose que l'ascension de la parcelle d'air est adiabatique. Soient C_p et C_v les chaleurs spécifiques respectives à pression constante et à volume constant. Soit γ = C_p / C_v = 7 / 5 (car l'air est diatomique), d'après la loi de Laplace, on a

pV^γ = Cte

On obtient donc les deux équations différentielles suivantes:

On multiplie la première équation par γ et on soustrait on obtient alors:

(γ − 1)Vdp = γnRdT

On divise l'équation par V.On obtient alors:

Soit ρ la densité de l'air. D'après la relation de Mayer, on a

Donc,

Comme γ = C_p / C_v, on obtient:

dp = C_pρdT

On introduit maintenant l'équation d'équilibre hydrostatique entre le niveau z et z + d z. Soit g=9.81 m/s² l'accélération de la pesanteur. Par unité de surface, la masse de la couche d'air est ρdz et donc son poids est ρgdz

La poussée d'Archimède par unité de surface est p - (p-dp) = dp. L'équation d'équilibre hydrostatique s'écrit donc dp = ρgdz On substitue maintenant dp et l'on obtient:

ρgdz = dp = C_pρdT

Et donc:

On a C_p = 1.006J / K / kg g = 9.81 m/s² et donc,

On retrouve une valeur très proche du gradient adiabatique sec qui est approximativement 10 °C/km.

Correction liée à la présence de vapeur d'eau

Dans la section précédente, on a supposé que l'air est sec et donc qu'il n'y a aucune condensation. Toutefois, les nuages sont très présents dans l'atmosphère et sont constitués de gouttelettes d'eau ou de cristaux de glace. En effet, lorsqu’une parcelle d'air s'élève, celle-ci se refroidit selon l'adiabatique sèche (10 °C/km) jusqu'à ce qu'elle soit saturée en vapeur d'eau. Dès lors, la vapeur d'eau se condense et libère de la chaleur latente ce qui a pour résultat que la parcelle d'air se refroidit moins vite. Le taux de refroidissement d'une parcelle d'air saturé est de l'ordre de 6.5 °C/km. Cette valeur est appelée gradient adiabatique humide. L'atmosphère standard est au niveau de la mer T = 287 K, p = 1013.15 hPa. On considère que l'atmosphère en équilibre a un gradient égal à l’adiabatique humide. La tropopause se situe à 11 km aux latitudes tempérées ce qui correspond à une température de 15 − 11 * 6.5 = − 56.5 °C. La température couramment admise à la tropopause est -52°C.

Variation de la pression en fonction de l'altitude

Le niveau de pression à 500 hPa se situe à l'altitude de 5500 mètres environ. Nous allons démontrer mathématiquement ce résultat. Comme on raisonne en température absolue, on peut supposer de prime abord que la température est presque constante dans les basses couches de l'atmosphère. On va considérer la température moyenne dans la basse troposphère que l'on estimera à 270 K. D'après les équations de l'hydrostatique et la loi des gaz parfaits, on peut écrire

Comme on a supposé que T est constante, en différenciant, on obtient:

On obtient donc l'équation différentielle suivante:

Soit ρ₀ la densité de l'air au niveau de la mer, on obtient alors:

On rappelle que . Donc,

. L'altitude z où la densité est réduite de moitié est donc:

Cette valeur est très proche de la valeur observée moyenne (niveau 500 hPa à 5500 m). Dans le modèle ci-dessus, la pression est proportionnelle à la densité de par la loi des gaz parfaits.

Dans ce modèle, on a supposé la température uniforme. Vu que dp = dρ(C_p − C_v)T, on obtient donc:

Au niveau de la mer dans des conditions normalisées, ρ = 1.20 kg/m³ et g = 9.81 m/s². Donc

.

Corrections et discussion

Dans tout ce qui précède, on a supposé que l'atmosphère était stable et que la pression était uniforme sur toute la surface de la Terre. Ceci n'est pas complètement exact puisqu'il se forme des zones de haute et basse pression (typiquement entre 980 hPa jusqu'à 1040 hPa). De plus la température n'est pas uniforme à la surface. La même chose se produit dans les couches moyennes de la troposphère où des dépressions ou des anticyclones peuvent se former en altitude.

On a remarqué en outre que le gradient adiabatique sec (10 °C / km) est largement supérieur au gradient moyen de la température (6,5 °C / km) et donc l'air au niveau du sol tendrait à être stable. Toutefois, au cours de la journée, par temps ensoleillé, les basses couches de l'atmosphère vont se réchauffer jusqu'à ce que le gradient thermique devienne supérieur au gradient adiabatique sec. Alors des colonnes d'air montant vont se développer pour rétablir l'équilibre. Ces ascendances thermiques sont utilisées par les oiseaux, et les pilotes de planeur, d'aile delta ou de parapente. Les hypothèses ultra-simplificatrices que nous avons utilisées permettent de justifier mathématiquement des phénomènes bien connus des pilotes de planeur (ascendances thermiques) et des alpinistes (raréfaction de l'air en altitude).