Loi de Laplace (thermodynamique)

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En thermodynamique, lors d'une transformation isentropique d'un gaz parfait, par exemple lors d'une transformation adiabatique et réversible^[1], la loi de Laplace est une relation qui relie la pression et le volume, la température et le volume, ou la température et la pression.

Sommaire

1 Énoncé mathématique
2 Démonstration de la loi de Laplace
3 Application en météorologie et en vol à voile
4 Notes

Énoncé mathématique

Au cours d'une transformation isentropique d'un gaz parfait on a les relations suivantes :

$\qquad P . V^{\gamma} = C_1$

$\qquad T . V^{\gamma-1} = C_2$

$\qquad T^{\gamma} . P^{1-\gamma} = C_3 = C_1^{1-\gamma}C_2^{\gamma}$

où

$P$ est la pression du gaz
$V$ est le volume occupé par le gaz
$T$ est la température du gaz
$\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ est le coefficient de Laplace du gaz parfait (sans unité), c'est-à-dire le rapport des capacités thermiques $\displaystyle C_P$ à pression constante et $\displaystyle C_V$ à volume constant.
$C 1$ , $C 2$ et $C 3$ étant trois constantes durant la transformation envisagée. Elles ne dépendent alors que du gaz parfait étudié et des conditions de la transformation.

Les relations de Laplace ne sont valables que si on suppose que $\displaystyle\gamma$ ne dépend pas de la température.

Démonstration de la loi de Laplace

On considère un gaz parfait qui obéit à la loi $P V = n R T$ . On suppose que l'énergie interne U du gaz ne dépend pas de la pression. On peut alors écrire: $d U = C v d T$ (ou plus simplement $U = C v T$ ).

On applique la première loi de la thermodynamique. L'apport de chaleur à un système se traduit par un changement d'énergie interne $d U$ et un travail $δ W = - p d V$ où:

$δ Q = d U + p d V = C v d T + p d V$

On suppose la transformation adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur). On a alors $δ Q = 0$ . On obtient alors la relation suivante:

$C v d T + p d V = 0$

On suppose que le gaz est un gaz parfait. $p V = n R T$ . La définition de l'enthalpie est $H = U + p V$ . Donc, $H = (C v + n R) T$ . On définit la chaleur spécifique $C_p = \left({\partial H \over \partial T}\right)_p$ . Donc $C p = C v + n R$ . De plus,

$C p d T = d H = d U + p d V + d p V$

Comme $0 = δ Q = d U + p d V$ , on obtient: $C p d T = V d p$

On remplace maintenant d T dans l'équation ci-dessus, on obtient:

$C_p \times { - p dV \over C_v} = V d p$

On définit maintenant $\gamma = {C_p \over C_v}$ et donc

$\gamma {d V \over V} + {d p \over p} = 0$

On suppose que $C p$ et $C v$ sont constantes et donc $γ$ est constant. On obtient alors:

$γln(V) + ln(p) = C t e$

et donc:

$p V γ = C t e$ CQFD.

Application en météorologie et en vol à voile

L'air est constitué principalement d'azote $N 2$ et d'oxygène $O 2$ . Ces gaz sont diatomiques, Dans ces conditions, on a $γ = 7 / 5$ ^[2]^, On remarquera que si l'on extrait les chaleurs spécifiques à partir des tables NIST^[3]^,, on obtient à 1000 hectpascals et T = 290 K, $C_p = 1.0413 kJ/g/K \quad C_v = 0.74303 kJ/g/K$ et donc $γ = 1.40142$ . La loi de Laplace s'applique donc particulièment bien à l'atmosphère. On peut alors calculer le gradient thermique adiabatique (ou adiabatique sèche) qui est de 9.78 K / km. Ce nombre est extrêmement important car à partir de sondages atmosphériques, on peut déterminer si l'atmosphère est stable ou est instable. Cela déterminera si des orages vont se former ou si les pilotes de planeur peuvent exploiter les ascendances thermiques.

Notes

↑ En toute rigueur il n'existe pas d'équivalence directe entre la propriété d'isentropie et celle d'adiabacité-réversibilité. Si l'application du second principe de la thermodynamique donne de manière évidente l'implication suivante : une réaction adiabatique et réversible est isentropique, il ne permet pas de retourner cette implication. En effet, si l'entropie d'un système est constante, on peut seulement conclure que le terme de création est égal à l'opposé du terme d'échange. En revanche si l'on rajoute à l'hypothèse d'isentropie celle de d'adiabacité (ou de réversibilité), alors on établit l'implication suivante : une réaction isentropique et adiabatique (respectivement réversible) est réversible (respectivement adiabatique).
↑ (en)Les processus adiabatiques
↑ Propriétés thermophysiques des systèmes fluides

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