Polynôme de Hurwitz

Polynôme de Hurwitz

Un polynôme de Hurwitz, ainsi nommé en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz, est un polynôme d’une variable à coefficients réels dont les racines sont toutes à partie réelle strictement négative.

En particulier, de tels polynômes jouent un rôle important dans l’analyse de la stabilité des systèmes dynamiques étudiés en automatique (cf. fonction de transfert et stabilité EBSB).

Sommaire

Propriétés

Considérons un polynôme de degré n à coefficients réels et ses racines zi réelles ou complexes (par couples de valeurs conjuguées dans ce cas). Les formes développée et factorisée sont les suivantes :

P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_n \prod_{i=0}^n (x - z_i).

Sans restreindre la généralité, supposons encore an > 0.

On montre aisément les propriétés suivantes :

  1. Les coefficients d’un polynôme de Hurwitz sont > 0.
  2. Si P(x) possède une racine réelle ≥ 0, alors au moins un coefficient est ≤ 0.
  3. P(x) est de Hurwitz si et seulement si R(x) = x^n P\left(\frac1x\right) = \sum_{i=0}^n a_{n-i} \, x^i l’est également.
  4. Pour n > 1, soit Q(x) le polynôme de degré n(n-1)/2 dont les racines sont les sommes deux à deux des racines de P(x), soit les zi + zj avec i < j. Alors P(x) est de Hurwitz si et seulement si les coefficients de P(x) et de Q(x) sont > 0[1].
  5. Si les coefficients de Q(x) sont > 0, P(x) n’est pas nécessairement de Hurwitz.

Preuves

  1. Il suffit de développer la forme factorisée pour le montrer.
  2. Idem.
  3. Il suffit de constater que R(x) = a_n \prod_{i=0}^n (1 - x z_i).
  4. Au préalable, on vérifie que les coefficients de Q(x) sont réels.
    • La nécessité se déduit de l’application de 1 pour P(x) et de sa preuve pour Q(x).
    • Pour la suffisance, on vérifie successivement à l’aide de 2 : a) les racines réelles de P(x) sont < 0 ; b) si une racine complexe de P(x) est à partie réelle ≥ 0, alors, en l’ajoutant à sa conjuguée, Q(x) possède une racine réelle ≥ 0, ce qui est exclu.
  5. Un contre-exemple : P(x) = (x − 1)(x + 2)2 et Q(x) = (x + 4)(x + 1)2.

Conditions supplémentaires

En plus de satisfaire la propriété 1 ci-dessus sur la positivité des coefficients, d’autres conditions sont nécessaires pour assurer qu’un polynôme est de Hurwitz :

  • n < 3 : pas d'autre condition[2]
  • n = 3 : ajouter a_1a_2 - a_0a_3 > 0\
  • n = 4 : ajouter a_2a_3 - a_1a_4 > \frac{a_3^2 a_0}{a_1}\ qui s’écrit aussi a_1a_2 - a_0a_3 > \frac{a_1^2 a_4}{a_3}\
  • n > 4 : ajouter plus d’une condition (cf tableaux de Routh ci-dessous).

Remarques :

  • La condition pour n = 4 doit converger vers celle pour n = 3 lorsque a4 est quasi-nul[3].

Cas général : le tableau de Routh et le critère de Routh-Hurwitz

Ce tableau est une construction numérique basée sur les coefficients ai du polynôme dont les éléments permettent de vérifier un critère donnant une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme soit de Hurwitz.

Bien que le concept conserve toute sa pertinence, le critère décrit ici a significativement perdu de son importance en pratique avec l’avènement des moyens de calcul rapide : pour un polynôme dont les coefficients sont connus, il est en effet préférable de déterminer numériquement ses racines (car elles donnent des indications nuancées sur la stabilité), au lieu de mettre en œuvre le critère ne permettant que de trancher.

Pour un polynôme de degré n, ce tableau est une matrice C comportant n+1 lignes et au moins (n+1)/2 colonnes.

Les éléments des deux premières lignes Ci,j sont directement issues des coefficients, alors que les éléments des suivantes se déterminent par des calculs de déterminants :

  • La 1e ligne du tableau, indexée par xn, comporte les coefficients an, an − 2, … soit C1,j = an + 2 − 2j.
  • La 2e ligne du tableau, indexée par xn − 1, comporte les coefficients an − 1, an − 3, … soit C2,j = an + 1 − 2j.
  • Pour la ligne i, indexée par xn − i, les éléments satisfont la relation récurrente suivante :
C_{i+1, j} = \frac{C_{i-1, j+1} \ C_{i, 1} - C_{i-1, 1} \ C_{i, j+1}}{C_{i, 1}}.

Lorsque cette relation fait référence à des éléments qui sont hors de la matrice (j trop grand), ces derniers sont remplacés par 0.

Ce procédé conduit au tableau suivant :

Tableau de Routh
xn
C_{1,1} = a_{n} \
C_{1,2} = a_{n-2} \
C_{1,3} = a_{n-4} \
C_{1,4} = a_{n-6} \
xn − 1
C_{2,1} = a_{n-1} \
C_{2,2} = a_{n-3} \
C_{2,3} = a_{n-5} \
C_{2,4} = a_{n-7} \
xn − 2 C_{3,1} = \frac{-1}{C_{2,1}}\begin{vmatrix} C_{1,1} & C_{1,2} \\ C_{2,1} & C_{2,2} \end{vmatrix} C_{3,2} = \frac{-1}{C_{2,1}}\begin{vmatrix} C_{1,1} & C_{1,3} \\ C_{2,1} & C_{2,3} \end{vmatrix} C_{3,3} = \frac{-1}{C_{2,1}}\begin{vmatrix} C_{1,1} & C_{1,4} \\ C_{2,1} & C_{2,4} \end{vmatrix}
…
xn − 3
C_{4,1} = \frac{-1}{C_{3,1}}\begin{vmatrix} C_{2,1} & C_{2,2} \\ C_{3,1} & C_{3,2} \end{vmatrix}
C_{4,2} = \frac{-1}{C_{3,1}}\begin{vmatrix} C_{2,1} & C_{2,3} \\ C_{3,1} & C_{3,3} \end{vmatrix}
…
…
xn − 4
C_{5,1} = \frac{-1}{C_{4,1}}\begin{vmatrix} C_{3,1} & C_{3,2} \\ C_{4,1} & C_{4,2} \end{vmatrix}
…
…
…

Critère de Routh-Hurwitz — En supposant ici encore que an > 0, le polynôme est de Hurwitz si et seulement si les n+1 éléments de la première colonne sont tous > 0.

Remarques :

  • Si l’un des éléments en première colonne est nul, le calcul pour la ligne suivante n’est pas possible : si Ci,1 = 0, le polynôme possède une racine nulle, il contient en fait un facteur xn + 2 − i.
  • Concernant les unités physiques dans le cas d’un système dynamique, celles de ai sont [Ti] où T est le temps. Partant de C1,1 dont l’unité est [Tn], chaque élément de la matrice C est d’unité homogène, ce qui permet un contrôle sur le traitement numérique. L’unité de Ci,j étant [Tn + 3 − i − 2j], on perd ainsi  :
    • deux unités en progressant d’une colonne,
    • une unité en progressant d’une ligne.

Critère de Hurwitz

Les coefficients du polynôme permettent de définir une matrice à partir de laquelle le critère de Hurwitz prend forme :

Critère de Hurwitz — Le polynôme est de Hurwitz si et seulement si les n déterminants principaux (calculés à partir du premier élément) sont strictement positifs.

La définition de cette matrice est précisée dans l’article sur les déterminants de Hurwitz (le lecteur restera attentif au fait que le polynôme considéré ici est le polynôme R(x) défini sous la condition 2 ci-dessus).

Bien que la matrice de Hurwitz soit plus simple à déterminer que le tableau de Routh, le calcul des déterminants reste plus complexe.

Application aux équations différentielles

Considérons l’équation différentielle linéaire suivante :

\sum_{j=0}^m b_j \; y^{(j)}(t) = 0.

On parlera de stabilité de l’équation si, pour toutes conditions initiales en t = 0, la solution converge vers 0 lorsque t tend vers l’infini.

La transformée de Laplace Y(p) de y(t) satisfait l’équation Y(p) = \frac{K}{H(p)} où H(p) est le polynôme caractéristique défini par H(p) = \sum_{j=0}^m b_j \; p^j(t) = 0 et K est une constante liée aux conditions initiales. Ainsi, la solution y(t) est une combinaison de termes du type e^{z_i t} où les zi sont les racines de H(p).

Condition de stabilité — L’équation est stable si et seulement si H(p) est un polynôme de Hurwitz.

Intérêt pour la physique

Cette équivalence est exploitée dans l’étude de la stabilité d'un système d'oscillateurs linéaires et de celle des filtres électriques linéaires.

Ces problèmes de stabilité apparaissent avec la régulation de la puissance injectée à une machine par un moteur, en particulier avec le développement de la machine à vapeur, et plus spécifiquement du régulateur de James Watt (1736-1819). Sa solution va mobiliser l'élite des mathématiciens du XIXe siècle : Charles Sturm (1803-1855), Cauchy (1789-1857), Hurwitz (1859-1919), etc.

Notes

  1. ↑ La détermination des coefficients de Q(x) sans connaître les racines de P(x) peut être obtenue au moyen des relations entre coefficients et racines, mais reste un problème non trivial.
  2. ↑ Avec n = 2, c’est une évidence pour un physicien habitué au circuit RLC.
  3. ↑ Par contre, il faut connaître la situation de deux oscillateurs couplés avec injection de puissance pour retrouver l'inéquation
    (a_2 \, a_1) / (a_3 \, a_0) > 1 + k (a_4 / a_0) (a_1 / a_3)^2, k=1\ .

Bibliographie

  • (de) Adolf Hurwitz, « Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt », dans Mathematische Annalen, vol. 46, 1895, p. 273–285 [texte intégral] 
  • Messaoud Benidir et Michel Barret, Stabilité des filtres et des systèmes linéaires, Dunod, 1999, 256 p. (ISBN 978-2-10-004432-0).
    plutôt mathématique, niveau maîtrise, il complète un article d'histoire des sciences :
     
  • M. Barret, « Historique depuis Cauchy jusqu'à Fujiwara des solutions au problème de la localisation des zéros d'un polynôme dans le plan complexe », dans Prépublication de l'IRMA, Strasbourg, vol. 22, 1996
    Niveau : professeur[précision nécessaire] de mathématiques
     

Voir aussi


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