Polynôme de Jacobi

Polynôme de Jacobi

En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} \,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,

où (\alpha+1)_n\, est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite

P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,

pour laquelle la valeur finale est

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n} .

Ici, pour l'entier n\,

{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},

et \Gamma(z)\, est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété 1/\Gamma(n+1) = 0\, pour n=-1,-2,\dots\,. Ainsi,

{z\choose n} = 0 \quad\hbox{pour}\quad n < 0.

Les polynômes ont la relation de symétrie P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z) ; ainsi, l'autre valeur finale est

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Pour un nombre réel x, le polynôme de Jacobi peut être écrit alternativement sous la forme

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= \sum_s {n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}

où s \ge 0 \, et n-s \ge 0 \, .

Dans le cas particulier où les quatre quantités n, n + α, n + β et n + α + β sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)! \sum_s \left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.

La somme sur s\, s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner d^j_{m' m}(\phi)\; (0\le \phi\le 4\pi) en termes de polynômes de Jacobi[1]

d^j_{m'm}(\phi) =\left[ \frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2} \left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'} \left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'} P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).

Dérivées

La k-ème dérivée de l'expression explicite conduit à

\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .

Références

  1. ↑ L. C. Biedenharn et J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Polynôme de Jacobi de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Polynome de Jacobi — Polynôme de Jacobi En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie : où est le symbole de Pochhammer pour… …   Wikipédia en Français

  • Polynôme de jacobi — En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie : où est le symbole de Pochhammer pour la factorielle… …   Wikipédia en Français

  • Polynôme de Legendre — Polynômes de Legendre Les polynômes de Legendre sont des solutions de l équation différentielle de Legendre, et constituent l exemple le plus simple d une suite de polynômes orthogonaux. Sommaire …   Wikipédia en Français

  • Jacobi — ist der Familienname folgender Personen: Abraham Jacobi (1830–1919), deutsch US amerikanischer Kinderarzt Albano von Jacobi (1854–1928), deutscher Offizier und Diplomat Ariane Jacobi (* 1966), deutsche Jazzsängerin und Moderatorin Arnold Jacobi… …   Deutsch Wikipedia

  • JACOBI (C.) — Le mathématicien allemand Carl Jacobi fut, avec N. H. Abel, le fondateur de la théorie des fonctions elliptiques dont il donna de nombreuses applications aux branches les plus diverses des mathématiques. On lui doit également des exposés de… …   Encyclopédie Universelle

  • Jacobi-Polynom — Die Jacobi Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm Liouville Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall [ 1,1] bezüglich der …   Deutsch Wikipedia

  • Jacobi-Polynome — Die Jacobi Polynome, auch hypergeometrische Polynome sind eine Menge orthogonaler Polynome im Intervall 1..1 mit der Gewichtungsfunktion (1 − z)α(1 + z)β, mit α, β > 1. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi und bilden …   Deutsch Wikipedia

  • Jacobi-Operator — Ein Jacobi Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi, ist ein symmetrischer linearer Operator der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix dargestellt wird. Selbstadjungierte… …   Deutsch Wikipedia

  • polynôme hypergéométrique — hipergeometrinis daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hypergeometric polynomial; Jacobi polynomial vok. hypergeometrisches Polynom, n rus. гипергеометрический полином, m; полином Якоби, m pranc. polynôme hypergéométrique, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Jacobi polynomial — hipergeometrinis daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hypergeometric polynomial; Jacobi polynomial vok. hypergeometrisches Polynom, n rus. гипергеометрический полином, m; полином Якоби, m pranc. polynôme hypergéométrique, m …   Fizikos terminų žodynas

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”