Méthode des trapèzes

Méthode des trapèzes
Principe de la méthode : l'aire sous la courbe représentative de f est approchée par l'aire sous une droite affine (en rouge)

En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

\int_{a}^{b} f(x)dx

Sommaire

Intervalle unique

Le principe est d'approcher la région sous la courbe représentative de la fonction f par un trapèze et d'en calculer l'aire :

T=(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment [a,b], l'erreur[1] est de la forme

\int_a^b f(x)\,dx -(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2} = -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)

pour un certain \xi \in [a,b]\,.

Notamment, dans le cas d'une fonction convexe, l'aire du trapèze est une valeur approchée par excès de l'intégrale.

Intervalles multiples

Pour obtenir de meilleurs résultats, on découpe l'intervalle [a,b] en n intervalles plus petits et on applique la méthode sur chacun d'entre eux :

\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right) + R_n(f)


R_n(f)\, est l'erreur de quadrature[1] et vaut: -\frac{(b-a)^3}{12n^2}f''(\xi) pour un \xi \in [a,b]\,

La méthode des trapèzes consiste donc à remplacer la fonction par une fonction continue et affine par morceaux (opération d'interpolation linéaire) et à considérer l'aire de cette dernière comme valeur approchée de l'aire de la fonction initiale.

Exemple d'approximation d'une fonction par des trapèzes

Voici le découpage d'une fonction f que l'on veut intégrer sur l'intervalle [0;2]
f(x)=1.1 + \ln(e-\frac{x}{100}+\frac{3}{5}\operatorname{tanh}(\ln(x+10^{-7})+1))\cos \,x + \frac{2}{5}(x-\frac{\cos(3x)}{5})^2 \,\! \cdot \cdot \cdot + \frac{11}{100} \sqrt{2+2x} \sin (\frac{44}{25}(4+3\sqrt{x})x-\frac{19}{20}x^5)-e^{\frac{x}{3}} \,\!


Découpage pour différentes valeurs de n (2,8 et 16).
Exemple avec n=2Exemple avec n=8Exemple avec n=16

Divers théorèmes

Théorème : Si f est 2 fois continûment différentiable sur [a,b], la méthode des trapèzes est convergente sur C2([a,b]).
Théorème : La méthode des trapèzes est stable.

Lien avec les autres méthodes d'intégration

La méthode des trapèzes est une application des formules de Newton-Cotes, la méthode de Simpson en est une autre, plus précise.

La méthode de Romberg est un procédé d'accélération de la convergence de la méthode des trapèzes.

Notes et références

  1. ↑ a et b En analyse numérique l'erreur est par convention la différence entre la valeur exacte (limite) et son approximation par un nombre fini d'opérations. (« Il est d'usage d'entendre par erreur d'un nombre approché a la différence entre le nombre exact A correspondant et le nombre approché, Δa=A-a », B. Démidovitch et I. Maron, Éléments de calcul numérique, Mir, 1973, p. 13). L'erreur d'approximation par un polynôme de Taylor est le reste de la série de Taylor, et l'erreur de quadrature est l'aire totale sous la courbe moins la somme des aires des trapèzes (N. Bakhvalov (en), Méthodes numériques, Mir, 1973, p. 281; G. Valiron, Théorie des fonctions, 1966, Méthodes des Trapèzes, p. 224 ; P. J. Davis (en) et P. Rabinowitz (en), Methods of Numerical Integration, A.P., 1984, p. 53). En métrologie, l'erreur est définie comme la différence Valeur approchée - Valeur réelle soit l'opposé de l'erreur définie dans cet article, qui, en métrologie, porte le nom de correction (Aimé Defix, Éléments de métrologie générale et de métrologie légale, p. 72-74).

Voir aussi

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