Méthode de romberg

Méthode de Romberg

En analyse numérique, la méthode d'intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d'intégrale, basée sur l'application du procédé d'extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d'accélération permet d'améliorer l'ordre de convergence de la méthode des trapèzes, en appliquant cette dernière à des divisions dyadiques successives de l'intervalle d'étude et en en formant une combinaison judicieuse.

Principe

On souhaite calculer l'intégrale $I = \int_a^b f(x) \, dx$ d'une fonction f, continue sur $[a, b]$ . On subdivise alors $[a, b]$ en n sous-intervalles identiques (n pair, $n = 2 p$ par exemple), du type $[a + k h, a + (k + 1) h]$ pour $k = 0,..., n - 1$ et $h = (b - a) / n$ . Sur cette grille régulière, est définie la méthode des trapèzes, notée T(h):

$T(h) = \frac{h}{2} \left[\sum_{k=0}^{n} \omega_k f(a + k h)\right]$

où les pondérations $ω k$ sont égales à 1 pour les points extrêmes, et à 2 pour les autres. Alors, l'erreur commise, notée $E = I-T(h)\,$ , vérifie

$E(h) = c_1 h^2 + c_2 h^4 + c_3 h^6 \cdots$

Cette relation exprime le fait que la méthode du trapèze présente une erreur proportionnelle à $h 2$ ; on dit qu'elle est d'ordre $O (h 2)$ .

Des manipulations algébriques fournissent une approximation de $I$ d'ordre $O (h 4)$ . Il suffit pour ce faire d'éliminer le terme en $h 2$ dans le développement de l'erreur. On y parvient en considérant plutôt la quantité [4 T(h) – T(2h)]/3, qui n'est rien d'autre que la méthode de Simpson. Le même procédé peut être reconduit, afin d'annuler les termes en $h^4, h^8, \ldots$ qui correspondent à des approximations de $I$ de plus en plus précises.

Algorithme

Nous allons formaliser la technique précédente de réduction de l'erreur. On note par R(k,h) l'approximation de $I$ à la k ème étape, avec une grille de pas h. On passe alors de l'étape k à l'étape k+1 en posant

$R(k+1,h) = \frac{1}{4^{k+1}-1} \times \left[ 4^{k+1}R(k,h)-R(k,2h) \right]$

On initialise l'algorithme avec la méthode du trapèze; autrement dit, R(0,h) = T(h). On montre par récurrence que l'approximation à la k ème étape, R(k,h), fournit une approximation de $I$ qui est $O (h 2 k + 2)$ .

L'algorithme peut être représenté sous la forme d'un tableau; afin de faciliter cette représentation, il est commode de remplacer le terme $h = (b - a) / 2 p$ par p directement. La première diagonale, notée R(k), correspond aux approximations successives, tandis que la première colonne représente la méthode du trapèze, la seconde la méthode de Simpson, etc. On se déplace à l'intérieur du tableau à l'aide de la formule de récurrence précédente. En pratique, pour obtenir une approximation de $I$ au niveau $ε > 0$ , on se fixe comme critère d'arrêt que la valeur absolue entre deux approximations successives est plus petite que $ε$ . Ceci implique généralement que $| R (k + 1) - I | < ε$ .

Exemple

A intégrer $f(t) = 2/(1 + 4t^2)\,$ sur [-1,2]. On trouve $I = \arctan(4)+\arctan(2) \simeq 2,432966381462123$ . La matrice de l'algorithme est

	k=0	1	2	3	4
p=0	0,7764705882
1	1,8882352941	2,2588235294
2	2,3510141988	2,5052738337	2,5217038540
3	2,4235526286	2,4477321053	2,4438959900	2,4426609446
4	2,4307735880	2,4331805744	2,4322104723	2,4320249879	2,4319832783

d'où l'on tire les approximations consécutives

k	R(k)
0	0,77647058823529
1	2,25882352941176
2	2,52170385395538
3	2,44266094457555
4	2,43198327829659

Voir aussi

Lien externe

En anglais : http://dmpeli.math.mcmaster.ca/Matlab/Math4Q3/NumMethods/Lecture3-5.html

Portail des mathématiques

Ce document provient de « M%C3%A9thode de Romberg ».

Catégorie : Intégration numérique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Méthode de romberg de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Methode de Romberg — Méthode de Romberg En analyse numérique, la méthode d intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d intégrale, basée sur l application du procédé d extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d… … Wikipédia en Français
Méthode De Romberg — En analyse numérique, la méthode d intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d intégrale, basée sur l application du procédé d extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d accélération permet … Wikipédia en Français
Méthode de Romberg — En analyse numérique, la méthode d intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d intégrale, basée sur l application du procédé d extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d accélération permet … Wikipédia en Français
Methode des trapezes — Méthode des trapèzes Principe de la méthode : l aire sous la courbe représentative de f est approchée par l aire sous une droite affine (en rouge) En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul … Wikipédia en Français
Méthode Des Trapèzes — Principe de la méthode : l aire sous la courbe représentative de f est approchée par l aire sous une droite affine (en rouge) En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d une… … Wikipédia en Français
Romberg — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Pour consulter un article plus général, voir : Nom de famille germanique. Romberg est un nom de famille d origine allemande qui peut faire référence… … Wikipédia en Français
Méthode des trapèzes — Principe de la méthode : l aire sous la courbe représentative de f est approchée par l aire sous une droite affine (en rouge) En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d une… … Wikipédia en Français
Johanna Romberg — (* 1958) ist eine deutsche Journalistin. Leben Johanna Romberg besuchte ab 1983 die Hamburger Journalistenschule (inzwischen Henri Nannen Schule).[1] Danach arbeitete sie für den Stern, bevor sie 1987 als Reporterin zu GEO wechselte. Romberg… … Deutsch Wikipedia
Calcul numérique d'une intégrale — En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une… … Wikipédia en Français
Extrapolation de Richardson — En analyse numérique, le procédé d extrapolation de Richardson est une technique d accélération de la convergence. Il est ainsi dénommé en l honneur de Lewis Fry Richardson[1],[2], qui l a introduit au début du XXe siècle. Ce procédé est… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Méthode de romberg