Méthode De La Transformée Inverse

Méthode de la transformée inverse

La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.

Le problème auquel s'adresse cette méthode est le suivant :

Soit

X

une variable aléatoire dont la distribution est décrite par la fonction de répartition

F (x)

;

On désire obtenir une suite de réalisations de

X

Cette méthode est fondée sur la propriété qu'a la variable aléatoire $U = F X (X)$ d'être distribuée uniformément sur [0;1] dès que la fonction de répartition $F X (x)$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}.$ La distribution recherchée s'obtient donc comme l'ensemble des antécédents $x$ des tirages $u$ selon une distribution uniforme pour la fonction de répartition $F X (x)$ . Autrement dit, la variable aléatoire $F_{X}^{-1}(U)$ a pour loi $F X (x)$ , où $U$ est une loi uniforme sur $[0;1]$ . Pour une formulation plus précise, voir le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

La plupart des langages de programmation permettant de produire des nombres pseudo-aléatoires de distribution uniforme, il suffit de calculer l'antécédent des nombres tirés selon la fonction de distribution $F X (x)$ .

Pour certaines lois, on sait inverser $F X (x)$ :

la Loi exponentielle de paramètre λ se tire comme $- log(U) / λ$ ;
la Loi de Cauchy standard se simule comme $tan(π U)$ ;
la Loi logistique standard se simule comme $log[U / (1 - U)]$ ;
la Loi de Laplace se simule comme $- sgn(U)log(1 - 2 | U | )$ .

Mais la plupart du temps, le calcul de l'antécédent est problématique: on ne sait pas obtenir x vérifiant $F X (x) = u$ , car on ne sait pas inverser la fonction $F X$ . Il faut alors procéder numériquement, pour résoudre en x l'équation $F X (x) - u = 0$ , en utilisant au choix la Méthode de dichotomie, la Méthode de la fausse position, la Méthode de la sécante ou encore la Méthode de Newton.

Voir aussi

Méthode de rejet
Cette méthode est aussi importante sur le plan théorique. Voir en particulier le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

Références

Luc Devroye. Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag, 1986. (site) Voir le chapitre 2, section 2, p. 28

Articles de mathématiques en rapport avec les probabilités ou les statistiques

Statistiques descriptives • Analyse des données • Visualisation des données • Estimateurs • Tests statistiques • Séries temporelles et économétrie • Statistique Mathématique • Théorie des probabilités • Variables aléatoires • Inégalités • Théorèmes limites • Processus stochastiques • La mécanique statistique • Les statistiques et l'économie • Les statistiques et la sociologie • Les statistiques et les sciences • Les probabilités et les jeux • Les équations aux dérivées partielles et les probabilités

Portail de l’informatique
Portail des probabilités et des statistiques

Ce document provient de « M%C3%A9thode de la transform%C3%A9e inverse ».

Catégorie : Probabilités

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Méthode De La Transformée Inverse de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Methode de la transformee inverse — Méthode de la transformée inverse La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l expression de sa fonction de répartition. Le problème auquel s … Wikipédia en Français
Méthode de la transformée inverse — La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l expression de sa fonction de répartition. Le problème auquel s adresse cette méthode est le… … Wikipédia en Français
Transformée inverse — Méthode de la transformée inverse La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l expression de sa fonction de répartition. Le problème auquel s … Wikipédia en Français
Transformée de Box-Muller — Méthode de Box Muller Représentation graphique de la transformation : les cercles de départ, répartis uniformément autour de l origine, deviennent un nouvel ensemble de cercles centrés, dont la répartition est proche de l origine puis s… … Wikipédia en Français
Methode de Box-Muller — Méthode de Box Muller Représentation graphique de la transformation : les cercles de départ, répartis uniformément autour de l origine, deviennent un nouvel ensemble de cercles centrés, dont la répartition est proche de l origine puis s… … Wikipédia en Français
Méthode De Box-Muller — Représentation graphique de la transformation : les cercles de départ, répartis uniformément autour de l origine, deviennent un nouvel ensemble de cercles centrés, dont la répartition est proche de l origine puis s étiole rapidement. Les… … Wikipédia en Français
Méthode de box-muller — Représentation graphique de la transformation : les cercles de départ, répartis uniformément autour de l origine, deviennent un nouvel ensemble de cercles centrés, dont la répartition est proche de l origine puis s étiole rapidement. Les… … Wikipédia en Français
Methode du rejet — Méthode de rejet Sommaire 1 But 2 Algorithme 3 Généralisations 4 Voir aussi 5 Références … Wikipédia en Français
Méthode Du Rejet — Méthode de rejet Sommaire 1 But 2 Algorithme 3 Généralisations 4 Voir aussi 5 Références … Wikipédia en Français
Méthode du rejet — Méthode de rejet Sommaire 1 But 2 Algorithme 3 Généralisations 4 Voir aussi 5 Références … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Méthode De La Transformée Inverse