Méthode De La Sécante

Méthode de la sécante

En analyse numérique, la méthode de la sécante est un algorithme de recherche de racines d'une fonction f.

Sommaire

1 La méthode
- 1.1 Démonstration
2 Convergence
3 Exemples d'implémentation
4 Voir aussi

La méthode

La méthode de la sécante est une méthode dérivée de celle de Newton où l'on remplace $f'(x_n)\,$ par $\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}$ On obtient la relation de récurrence

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).$

L'initialisation nécessite 2 points x₀ et x₁, proches, si possible, de la solution recherchée.

Démonstration

La courbe rouge représente la fonction f et le segment en bleu, la sécante.

Étant donné a et b, on construit le segment reliant (a, f(a)) et (b, f(b)). La droite peut être définie ainsi :

$y - f(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-b).$

On choisit c de telle sorte que c soit la racine de cette droite (c'est-à-dire f(c) =0)

$f(b) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (c-b) = 0.$

Si on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut.

Convergence

Si les valeurs initiales de x₀ et de x₁ sont suffisamment proches de la solution, la méthode aura un ordre de convergence de

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,618$ qui est le nombre d'or.

Toutefois, la fonction f doit être 2 fois continuement différentiable et ce doit être une racine simple.

Exemples d'implémentation

Ce programme en C résout le problème f(x) = cos(x) - x³ = 0. Les tests d'arrêts sont les suivants :

$| x n + 1 - x n | < e$
$n > m$

m et e étant donnés.

#include <stdio.h>
#include <math.h>
  
double f(double x)
{
    return cos(x) - x*x*x;
}
 
double SecantMethod(double xn_1, double xn, double e, int m)
{
    int n;
    double d;
    for (n = 1; n <= m; n++)
    {
        d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn);
        if (fabs(d) < e)
            return xn;
        xn_1 = xn;
        xn = xn - d;
    }
    return xn;
}
 
int main(void)
{
    printf("%0.15f\n", SecantMethod(0, 1, 5E-11, 100));
    return 0;
}

On obtient les résultats suivants :

$x_0 = 0\,\!$

$x_1 = 1\,\!$

$x_2 = 0,685073357326045\,\!$

$x_3 = 0,841355125665652\,\!$

$x_4 = 0,870353470875526\,\!$

$x_5 = 0,865358300319342\,\!$

$x_6 = 0,865473486654304\,\!$

$x_7 = 0,865474033163012\,\!$

$x_8 = 0,865474033101614\,\!$

Programme en Fortran :

       PROGRAM MethodeSecante
          IMPLICIT NONE
          REAL(8) :: Secante, f	! Fonctions
          REAL(8) :: x
          
          x=Secante(0d0, 1d0, 5d-11)
          PRINT *, x, f(x)
       END PROGRAM MethodeSecante
 
       REAL(8) FUNCTION f(x)
          IMPLICIT NONE
          REAL(8) :: x
          
          f=cos(x) - x*x*x
       END FUNCTION f
 
       REAL(8) FUNCTION Secante(x0, x1, e)
          IMPLICIT NONE
          REAL(8)	:: f	! Fonction
   	   REAL(8) 	:: x0,x1,xn_1,xn
   	   REAL(8)	:: d,e
   
   	   d=2d0*e
   	   xn_1=x0
   	   xn=x1
          DO WHILE (ABS(d)>e)
   		d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn)
      		xn_1 = xn
      		xn = xn - d
      	   END DO
          Secante=xn
       END FUNCTION Secante

Voir aussi

Méthodes de résolution d'équations
Résolution d'équations polynomiales	Méthode de Bézout · Méthode de Cardan · Méthode de Sotta · Méthode de Ferrari · Méthode de Descartes · Méthode de Tschirnhaus · Méthode d'Hermite
Recherche d'un zéro	Méthode de dichotomie · Méthode de Newton · Méthode de la sécante · Méthode de Müller · Méthode de Brent · Méthode de la fausse position · Méthode de Héron · Méthode de Laguerre · Méthode du cercle de séparation · Méthode de Halley · Méthode de Householder . Méthode de Quasi-Newton

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Catégorie : Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction

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