Module quotient
- Module quotient
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En mathématiques, un module quotient est le module obtenu en quotientant un module sur un anneau par un de ses sous-modules.
Définition
Soient M un module sur un anneau A et N un sous-module de M.
Le groupe (M,+) étant abélien, son sous-groupe (N,+) est normal, ce qui permet de définir le groupe quotient (M/N,+).
Sur ce groupe (M/N,+), qui est abélien, il existe une unique loi externe faisant de M/N un A-module et telle que la projection canonique 
soit non seulement un morphisme de groupes, mais un morphisme de A-modules :
Exemples
- M/M est le module trivial {0}.
- M/{0} est isomorphe à M.
- Si M est égal à l'anneau A (vu comme module à gauche sur lui-même), ses sous-modules sont les idéaux à gauche de A. Le module quotient de A par un idéal bilatère I est l'anneau quotient A/I, vu comme A-module.
- Si I est un idéal bilatère de A, la structure de A-module du quotient de M par le sous-module
est induite par sa structure naturelle de A/I-module.
Propriétés
Tout morphisme de A-modules 
dont le noyau contient N se factorise de façon unique par M/N, c'est-à-dire qu'il existe un unique morphisme de A-modules 
tel que 
.
Wikimedia Foundation.
2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Module quotient de Wikipédia en français (auteurs)
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