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Loi de composition externe
En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.
Sommaire
Définition
Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien qui sert d'ensemble de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :
- une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
- une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E .
Principales propriétés
Propriétés simples
Soit un ensemble E muni d'une loi externe « . » à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).
- la loi « . » est exo-unifère à gauche (resp. exo-unifère à droite), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S qui, composé par cette loi avec tout élément de E , redonne l'élément de E
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
- la loi « . » est absorbante à droite (resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S , se redonne lui-même
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
- la loi « . » est exo-absorbante à gauche (resp. exo-absorbante à droite), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
- la loi « . » est régulière à gauche (resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
- la loi « . » est exo-régulière à droite (resp. à gauche ) ssi pour chaque élément de E, ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
- la loi « . » est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.
Propriétés relatives à une loi interne
- la loi « . » est exo-associative par rapport à une loi interne « » de S si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « . » d'un autre scalaire et d'un élément de E est égal au composé de cet élément de E avec le composé des deux scalaires par la loi « »
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
- la loi « . » est distributive ( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne « » de E si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « » de deux éléments de E est égal au composé par la loi « » des deux composés par la loi « . » de ces éléments de E avec le scalaire précédent
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
- la loi « . » est exo-distributive ( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne « » de S relativement à une autre loi interne « » de E si tout composé par la loi « . » d'un élément de E avec le composé par la loi « » de deux scalaires est égal au composé par la loi « » des deux composés par la loi « . » de l'élément de E avec chaque scalaire
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
Voir aussi
- Portail des mathématiques
Catégorie : Structure algébrique
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