Loi externe

Loi externe

Loi de composition externe

En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.

Sommaire

Définition

Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien qui sert d'ensemble de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :

  • une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
  • une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E .

Principales propriétés

Propriétés simples

Soit un ensemble E muni d'une loi externe « . » à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).

  • la loi « . » est exo-unifère à gauche (resp. exo-unifère à droite), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S qui, composé par cette loi avec tout élément de E , redonne l'élément de E
ou :
- pour une relation à gauche :
 \exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \epsilon . x = x \,
- et à droite :
 \exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \epsilon = x \,
  • la loi « . » est absorbante à droite (resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S , se redonne lui-même
ou :
- pour une relation à gauche :
 \exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ \lambda . a = a \,
- et à droite :
 \exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ a . \lambda = a \,
  • la loi « . » est exo-absorbante à gauche (resp. exo-absorbante à droite), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E
ou :
- pour une relation à gauche :
 \exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \omega . x = a \,
- et à droite :
 \exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \omega = a \,
  • la loi « . » est régulière à gauche (resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux
ou :
- pour une relation à gauche :
 \forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ \lambda . x = \lambda . y  \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,
- et à droite :
 \forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ x . \lambda = y . \lambda \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,
  • la loi « . » est exo-régulière à droite (resp. à gauche ) ssi pour chaque élément de E, ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux
ou :
- pour une relation à gauche :
 \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ \lambda . x = \mu . x \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,
- et à droite :
 \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ x . \lambda = x . \mu \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,
  • la loi « . » est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.

Propriétés relatives à une loi interne

  • la loi « . » est exo-associative par rapport à une loi interne «  * \, » de S si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « . » d'un autre scalaire et d'un élément de E est égal au composé de cet élément de E avec le composé des deux scalaires par la loi «  * \, »
ou :
- pour une relation à gauche :
 \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ \lambda . ( \mu . x ) = ( \lambda * \mu ) . x \,
- et à droite :
 \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( x . \mu ) . \lambda = x . ( \mu * \lambda ) \,
  • la loi « . » est distributive ( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne «  \bot \, » de E si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi «  \bot \, » de deux éléments de E est égal au composé par la loi «  \bot \, » des deux composés par la loi « . » de ces éléments de E avec le scalaire précédent
ou :
- pour une relation à gauche :
 \forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ \lambda . ( x \bot y ) = ( \lambda . x ) \bot ( \lambda . y ) \,
- et à droite :
 \forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x \bot y ) . \lambda = ( x . \lambda ) \bot ( y . \lambda ) \,
  • la loi « . » est exo-distributive ( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne «  \top \, » de S relativement à une autre loi interne «  \bot \, » de E si tout composé par la loi « . » d'un élément de E avec le composé par la loi «  \top \, » de deux scalaires est égal au composé par la loi «  \bot \, » des deux composés par la loi « . » de l'élément de E avec chaque scalaire
ou :
- pour une relation à gauche :
 \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( \lambda \top \mu ) . x = ( \lambda . x ) \bot ( \mu . x ) \,
- et à droite :
 \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ x . ( \lambda \top \mu ) = ( x . \lambda ) \bot ( x . \mu ) \,

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Loi de composition externe ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Loi externe de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Loi De Composition Externe — En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.… …   Wikipédia en Français

  • Loi de composition externe — En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.… …   Wikipédia en Français

  • Loi De Composition — En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un troisième ensemble G, avec G égal à E ou à F …   Wikipédia en Français

  • Loi de composition — En mathématiques, étant donné un ensemble E une loi de composition, sur E, ou loi tout court, est une application, soit de E × E dans E, on dit alors que la loi est interne, soit de K× E dans E (ou E× K dans E), où K est un autre ensemble et la… …   Wikipédia en Français

  • externe — [ ɛkstɛrn ] adj. et n. • esterne « étranger » XVe; lat. externus, de exter « extérieur » 1 ♦ Qui est situé en dehors, se présente au dehors, est tourné vers l extérieur. ⇒ 1. extérieur, extrinsèque. Face, bord externe de qqch. Coin externe de l… …   Encyclopédie Universelle

  • LOI — Le mot «loi» est l’un des plus polyvalents qui soient, et cela, avant tout, parce que la réalité qu’il recouvre est ambiguë, ou plutôt d’une complexité historique et existentielle difficile à tirer au clair. Pour ne conserver que l’acception… …   Encyclopédie Universelle

  • Loi de 1905 — Loi de séparation des Églises et de l État  Cet article concerne surtout l histoire de la loi. Pour ses implications, voir Laïcité en France. Première page du projet de loi de 1905 …   Wikipédia en Français

  • Loi de la séparation des Églises et de l'État — Loi de séparation des Églises et de l État  Cet article concerne surtout l histoire de la loi. Pour ses implications, voir Laïcité en France. Première page du projet de loi de 1905 …   Wikipédia en Français

  • Loi de séparation des Églises et de l’État — Loi de séparation des Églises et de l État  Cet article concerne surtout l histoire de la loi. Pour ses implications, voir Laïcité en France. Première page du projet de loi de 1905 …   Wikipédia en Français

  • Loi du 9 décembre 1905 — Loi de séparation des Églises et de l État  Cet article concerne surtout l histoire de la loi. Pour ses implications, voir Laïcité en France. Première page du projet de loi de 1905 …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”