Loi de bernoulli

Loi de bernoulli: Loi de Bernoulli

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Bernoulli
Densité de probabilité / Fonction de masse

Fonction de répartition

Paramètres $p>0\,$ (nombre réel)
$q\equiv 1-p\,$

Support $k=\{0,1\}\,$

Densité de probabilité (fonction de masse) $\begin{matrix} q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1 \end{matrix}$

Fonction de répartition $\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1 \end{matrix}$

Espérance $p\,$

Médiane (centre) non disponible

Mode $\textrm{max}(p,q)\,$

Variance $pq\,$

Asymétrie (statistique) $\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$

Kurtosis (non-normalisé) $\frac{3p^2-3p+1}{pq}\,$

Entropie $-q\ln(q)-p\ln(p)\,$

Fonction génératrice des moments $q+pe^t\,$

Fonction caractéristique $q+pe^{it}\,$

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité $q = 1 - p$ .
$f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ 1-p & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.$
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut $p q = p (1 - p)$ .

Le Kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour $p = 1 / 2$ la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

Variable de Bernoulli

Une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est appelée variable de Bernoulli.

La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de la manière suivante : 1 pour "succès", 0 pour "échec", ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une épreuve de Bernoulli.

Plus généralement, toute application mesurable à valeur dans {0,1} est une variable de Bernoulli. Autrement dit, toute fonction indicatrice mesurable suit la loi de Bernoulli. Réciproquement, pour toute variable de Bernoulli X définie sur (Ω,A,P), on peut trouver un ensemble mesurable B tel que X et la fonction indicatrice de B soient presque sûrement égaux : toute variable de Bernoulli est presque sûrement égale à une fonction indicatrice.

Classiquement, écrire une variable aléatoire N, comptant un nombre d'évènements dans une situation donnée, comme la somme d'une famille de variables de Bernoulli permet de calculer simplement l'espérance de N, comme étant la somme des paramètres de ces variables de Bernoulli:
$\left\{N=\sum_{i\in I} X_i\right\}\quad\Rightarrow\quad\left\{\mathbb{E}[N]=\sum_{i\in I} \mathbb{P}(X_i=1)\right\}.$
Cette méthode simplifie aussi le calcul de la variance de N, dans certains cas.

Distributions liées

Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre $p$ , indépendantes et identiquement distribuées, alors leur somme N suit la Loi binomiale :

$N = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)$

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Épreuve de Bernoulli

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**Bernoulli**
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$p>0\,$ (nombre réel) $q\equiv 1-p\,$
Support	$k=\{0,1\}\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\begin{matrix} q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1 \end{matrix}$
Fonction de répartition	$\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1 \end{matrix}$
Espérance	$p\,$
Médiane (centre)	non disponible
Mode	$\textrm{max}(p,q)\,$
Variance	$pq\,$
Asymétrie (statistique)	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{3p^2-3p+1}{pq}\,$
Entropie	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
Fonction génératrice des moments	$q+pe^t\,$
Fonction caractéristique	$q+pe^{it}\,$

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Loi de bernoulli de Wikipédia en français (auteurs)

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