K-théorie

K-théorie: Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch, fondateurs de la K-théorie topologique (en)

En mathématiques, la K-théorie est un outil utilisé dans plusieurs disciplines. En topologie algébrique, la K-théorie topologique (en) sert de théorie de cohomologie. Une variante est utilisée en algèbre sous le nom de K-théorie algébrique (en).

Les premiers résultats de la K-théorie ont été dans le cadre de la topologie algébrique, comme une théorie de cohomologie extraordinaire (elle ne vérifie pas l'axiome de dimension). Après ses méthodes ont été utilisées dans beaucoup de sujets comme la géométrie algébrique, l'algèbre, théorie des nombres, théorie des opérateurs, etc.

Sommaire

1 Histoire

2 Périodicité de Bott

3 Catalogue de groupes élémentaires de K-théorie topologique

4 Fondateurs

5 K-théorie et physique

6 Référence

7 Liens utiles

Histoire

C'est Alexandre Grothendieck qui a fait la première construction d'un groupe de K-théorie dans son travail sur le théorème maintenant connu comme le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch (en). Il a introduit la complétion du monoïde de faisceaux de groupes abéliens avec la somme directe en utilisant des inverses formels. Cette idée a été reprise par Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch pour définir le groupe $K (X)$ d'un espace topologique, en faisant la même construction pour les classes d'isomorphisme de fibrés vectoriels. Cette construction a été la première « théorie cohomologique extraordinaire » en topologie algébrique. Son utilisation a été fondamentale pour la démonstration du célèbre « théorème de l'indice » de Michael Atiyah et Isadore Singer, travail qui a fait obtenir au premier auteur la Médaille Fields en 1966, et aux deux, le prix Abel en 2004.

Par ailleurs, Jean-Pierre Serre s'est appuyé sur l'analogie entre fibrés vectoriels et modules projectifs sur un anneau pour fonder la K-théorie algébrique en 1959. Ceci l'a conduit à énoncer la conjecture de Serre : Tout module projectif sur un anneau de polynômes d'un corps est un module libre. Cette conjecture a été prouvée en 1976, par Daniel Quillen et Andrei Suslin (en) en utilisant des méthodes de K-théorie algébrique. Quillen a ensuite donné une définition satisfaisante des foncteurs $K n$ , en utilisant de la théorie homotopique.

Périodicité de Bott

$K(X\times S^2)=K(X)\otimes K(S^2),$ et $K(S^2)=\mathbb Z[H]/(H-1)^2;$ $H$ $S^2=\mathbb CP^1$ .

$\tilde K^{n+2}(X)=\tilde K^n(X)$

$\Omega^2\mathrm{BU}\simeq\mathrm{BU}\times\mathbf Z$ .

Catalogue de groupes élémentaires de K-théorie topologique

$A$ $K 0 (A)$ $K 1 (A)$

$\C$ $\Z$ $0$

$\mathbb M_n$ $\Z$ $0$

$\mathbb K$ $\Z$ $0$

$\mathbb B$ $0$ $0$

$\mathbb B/\mathbb K$ $0$ $\Z$

$C_0(\R^{2n})$ $\Z$ $0$

$C_0(\R^{2n+1})$ $0$ $\Z$

$C(\mathbb T^n)$ $\Z^{(2^{n-1})}$ $\Z^{(2^{n-1})}$

$C (S 2 n)$ $\Z^2$ $0$

$C (S 2 n + 1)$ $\Z$ $\Z$

$A θ$ $\Z^2$ $\Z^2$

$C_r^*(F_n)$ $\Z$ $\Z^n$

où

$\mathbb M_n$ est l'ensemble des matrices complexes de dimension $n$ ;

$\mathbb K$ est l'ensemble des opérateurs compacts d'un Hilbert de dimension infinie ;

$\mathbb B$ est l'ensemble des applications linéaires bornées d'un Hilbert de dimension infinie ;

$C_0(\R^{2n})$ est l'ensemble des fonctions continues de $\R^{2n}$ qui admettent une limite nulle à l'infini ;

$\mathbb T^n$ est le tore de dimension $n$ ;

$S n$ est la sphère de dimension $n$ ;

$A θ$ est le tore non commutatif associé au nombre irrationnel $θ$ ;

$C_r^*(F_n)$ est la C*-algèbre réduite (en) du groupe libre $F n$ sur n éléments.

Notons que le tore non commutatif et le tore (commutatif) de dimension 2 ont la même K-théorie.

La notion de tore non commutatif se généralise facilement aux dimensions supérieures. Ces tores non commutatifs de dimensions supérieures ont la même K-théorie que leurs analogues commutatifs.

Fondateurs

Alexandre Grothendieck

Michael Atiyah

Friedrich Hirzebruch

Jean-Pierre Serre

Max Karoubi (de)

Daniel Quillen

K-théorie et physique

En théorie des cordes, la K-théorie a fourni une bonne description des charges permises de D-branes.

Référence

N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras, Oxford Science Publications (1993)

M. Pimsner et D. Voiculescu, K-groups of reduced crossed products by free groups, J. Operator Theory 8 (1982), no. 1, 131–156.

Liens utiles

Le livre d'Allen Hatcher Vector Bundles & K-Theory (anglais) est disponible gratuitement en formats PDF et PostScript.

K-théorie (anglais) sur PlanetMath.

Exemples de groupes de K-théorie (anglais) sur PlanetMath.

K-théorie algébrique(anglais) sur PlanetMath.

Exemples de groupes de K-théorie algébrique (anglais) sur PlanetMath.

Module de Fredholm (anglais) sur PlanetMath.

K-homologie (anglais sur PlanetMath.

Portail des mathématiques

Catégorie :
Topologie algébrique

$A$	$K 0 (A)$	$K 1 (A)$
$\C$	$\Z$	$0$
$\mathbb M_n$	$\Z$	$0$
$\mathbb K$	$\Z$	$0$
$\mathbb B$	$0$	$0$
$\mathbb B/\mathbb K$	$0$	$\Z$
$C_0(\R^{2n})$	$\Z$	$0$
$C_0(\R^{2n+1})$	$0$	$\Z$
$C(\mathbb T^n)$	$\Z^{(2^{n-1})}$	$\Z^{(2^{n-1})}$
$C (S 2 n)$	$\Z^2$	$0$
$C (S 2 n + 1)$	$\Z$	$\Z$
$A θ$	$\Z^2$	$\Z^2$
$C_r^*(F_n)$	$\Z$	$\Z^n$

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article K-théorie de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

théorie — [ teɔri ] n. f. • 1496; « science de la contemplation » 1380; rare av. XVIIe; lat. ecclés. theoria, mot gr. « observation, contemplation », de theôrein « observer » I ♦ 1 ♦ Ensemble d idées, de concepts abstraits, plus ou moins organisés,… … Encyclopédie Universelle
Theorie axiomatique des ensembles — Théorie des ensembles La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d ensemble et d… … Wikipédia en Français
Theorie de Galois — Théorie de Galois Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d une correspondance avec des groupes de transformations sur ces… … Wikipédia en Français
Theorie des cordes — Théorie des cordes Les niveaux de grossissements : monde macroscopique, monde moléculaire, monde atomique, monde subatomique, monde des cordes. La théorie des cordes est l une des voies envisagées pour régler une des questions majeures de la … Wikipédia en Français
Theorie des ensembles — Théorie des ensembles La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d ensemble et d… … Wikipédia en Français
Théorie axiomatique des ensembles — Théorie des ensembles La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d ensemble et d… … Wikipédia en Français
Théorie de galois — Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes … Wikipédia en Français
Theorie axiomatique — Théorie axiomatique Quand on parle de théorie mathématique on fait référence à une somme d énoncés, de définitions, de méthodes de preuve etc. Par exemple, quand dans cet article on parle de théorie de la calculabilité c est en ce sens. Par… … Wikipédia en Français
Theorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Godel — Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel La théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, abrégée en NBG ou théorie des classes, est une théorie axiomatique essentiellement équivalente[1] à la théorie ZFC de Zermelo–Fraenkel avec… … Wikipédia en Français
Theorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Godel — Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel La théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, abrégée en NBG ou théorie des classes, est une théorie axiomatique essentiellement équivalente[1] à la théorie ZFC de Zermelo–Fraenkel avec… … Wikipédia en Français
Theorie des nombres — Théorie des nombres Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s occupe des propriétés des nombres entiers, qu ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu il… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

K-théorie

Sommaire

Histoire

Périodicité de Bott

Catalogue de groupes élémentaires de K-théorie topologique

Fondateurs

K-théorie et physique

Référence

Liens utiles

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

K-théorie

Sommaire

Histoire

Périodicité de Bott

Catalogue de groupes élémentaires de K-théorie topologique

Fondateurs

K-théorie et physique

Référence

Liens utiles

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link