Itération de Householder

En analyse numérique, l'itération de Householder ou méthode de Householder désigne un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C²).

L'algorithme est itératif et de convergence cubique ; il se généralise à des fonctions Cⁿ avec une convergence d'ordre n + 1.

Il doit son nom à son inventeur, le mathématicien Alston Scott Householder.

Énoncé

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Householder consiste à itérer :

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\times (1+h_k)$

avec

$h_k = \frac{f(x_k) f''(x_k)}{2 f'(x_k)^2}$

à partir d'une estimation x₀ de a.

On retrouve l'itération de Halley en remplaçant (1 + h_k) par 1/(1 − h_k) pour h_k << 1 dans la relation de récurrence ci-dessus.

Généralisation

Les méthodes Householder généralisent la méthode de Newton (cas n = 0) et la méthode de Halley (cas n = 1) dans le cas d'une fonction C^{n + 1} :

$x_{k+1}=x_k + (n+1)\frac{(1/f)^{(n)}(x_k)}{(1/f)^{(n+1)}(x_k)}$

Leur vitesse de convergence est d'ordre n + 2.

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

(en) Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah et Xavier Gourdon, 2001
(en) Householder's Method sur le site Math World

Bibliographie

(en) Alston Scott Householder, Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation, McGraw Hill Text, New York, 1970. ISBN 0-07-030465-3

Méthodes de résolution d'équations
Résolution d'équations polynomiales	Méthode de Bézout · Méthode de Cardan · Méthode de Sotta · Méthode de Ferrari · Méthode de Descartes · Méthode de Tschirnhaus · Méthode d'Hermite
Recherche d'un zéro	Méthode de dichotomie · Méthode de Newton · Méthode de la sécante · Méthode de Müller · Méthode de Brent · Méthode de la fausse position · Méthode de Héron · Méthode de Laguerre · Méthode du cercle de séparation · Méthode de Halley · Méthode de Householder . Méthode de Quasi-Newton

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Catégorie : Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction

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