Inégalité de ptolémée

Inégalité de Ptolémée

L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.

Énoncé

Inégalité de Ptolémée — Soient A, B C et D quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,

$AB.CD \leq AC.BD+AD.BC$

Démonstration

Cette inégalité se déduit directement de l'inégalité triangulaire en utilisant une involution.

Vectorialisons l'espace E en A. Notons respectivement b c d les vecteurs AB AC et AD.

Un calcul immédiat donne :

${\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\|}^2 = \frac{1}{\|b\|^2}-2\frac{<b|c>}{\|b\|^2\|c\|^2}+\frac{1}{\|c\|^2} =\frac{\|b-c\|^2}{\|b\|^2\|c\|^2}$

$\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\| =\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}$

Appliquons l'inégalité triangulaire aux trois vecteurs $d/\|d\|^2-c/\|c\|^2$ , $d/\|d\|^2-b/\|b\|^2$ et $b/\|b\|^2-c/\|c\|^2$ :

$\frac{\|d-c\|}{\|c\|.\|d\|} \leq \frac{\|d-b\|}{\|b\|.\|d\|}+\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}$

Multiplions cette inégalité par $\|b\|.\|c\|.\|d\|$ :

$\|b\|.\|d-c\|\leq \|c\|.\|d-b\|+\|d\|.\|b-c\|$

D'où l'inégalité voulue !

Cas particulier

Figure de l'inégalité de Ptolémée.

Lorsque les points A, B C et D pris dans cet ordre forment un quadrilatère convexe, alors l'inégalité est stricte si et seulement si le quadrilatère n'est pas inscriptible.

Voir aussi

Théorème de Ptolémée

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Catégories : Géométrie euclidienne | Inégalité

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