Inégalité De Ptolémée

Inégalité De Ptolémée

Inégalité de Ptolémée


L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.

Énoncé

Inégalité de Ptolémée — Soient A, B C et D quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,

AB.CD \leq AC.BD+AD.BC

Démonstration

Cette inégalité se déduit directement de l'inégalité triangulaire en utilisant une involution.

Vectorialisons l'espace E en A. Notons respectivement b c d les vecteurs AB AC et AD.

Un calcul immédiat donne :

{\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\|}^2 = \frac{1}{\|b\|^2}-2\frac{<b|c>}{\|b\|^2\|c\|^2}+\frac{1}{\|c\|^2} =\frac{\|b-c\|^2}{\|b\|^2\|c\|^2}
 \left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\| =\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}

Appliquons l'inégalité triangulaire aux trois vecteurs d/\|d\|^2-c/\|c\|^2, d/\|d\|^2-b/\|b\|^2 et b/\|b\|^2-c/\|c\|^2 :

\frac{\|d-c\|}{\|c\|.\|d\|} \leq \frac{\|d-b\|}{\|b\|.\|d\|}+\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}

Multiplions cette inégalité par \|b\|.\|c\|.\|d\| :

\|b\|.\|d-c\|\leq \|c\|.\|d-b\|+\|d\|.\|b-c\|

D'où l'inégalité voulue !

Cas particulier

Figure de l'inégalité de Ptolémée.

Lorsque les points A, B C et D pris dans cet ordre forment un quadrilatère convexe, alors l'inégalité est stricte si et seulement si le quadrilatère n'est pas inscriptible.

Voir aussi

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « In%C3%A9galit%C3%A9 de Ptol%C3%A9m%C3%A9e ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité De Ptolémée de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Inegalite de Ptolemee — Inégalité de Ptolémée L inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d un espace affine euclidien. Énoncé Inégalité de Ptolémée   Soient A, B C et D quatre points d un espace affine euclidien.… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité de ptolémée — L inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d un espace affine euclidien. Énoncé Inégalité de Ptolémée   Soient A, B C et D quatre points d un espace affine euclidien. Alors, Démonstration… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité de Ptolémée — L inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d un espace affine euclidien. Énoncé Inégalité de Ptolémée   Soient A, B C et D quatre points d un espace affine euclidien. Alors, Démonstration …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Ptolemee — Théorème de Ptolémée Figure du théorème de Ptolémée. Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d un quadrilatère. L implication directe est attribuée à l astronome et mathématicien grec Ptolémée,… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de ptolémée — Figure du théorème de Ptolémée. Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d un quadrilatère. L implication directe est attribuée à l astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Ptolémée — Figure du théorème de Ptolémée. Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d un quadrilatère. L implication directe est attribuée à l astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Liste d'équations et formules — Ceci est une Liste des équations et formules par ordre alphabétique. Cette liste contient les équations, les formules, les relations et autres identités, égalités ou inégalités. Sommaire : Haut A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Équations Et Formules — Ceci est une Liste des équations et formules par ordre alphabétique. Cette liste contient les équations, les formules, les relations et autres identités, égalités ou inégalités. Sommaire : Haut A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”