- Inégalité De Ptolémée
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Inégalité de Ptolémée
L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.Énoncé
Inégalité de Ptolémée — Soient A, B C et D quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,
Démonstration
Cette inégalité se déduit directement de l'inégalité triangulaire en utilisant une involution.
Vectorialisons l'espace E en A. Notons respectivement b c d les vecteurs AB AC et AD.
Un calcul immédiat donne :
Appliquons l'inégalité triangulaire aux trois vecteurs , et :
Multiplions cette inégalité par :
D'où l'inégalité voulue !
Cas particulier
Lorsque les points A, B C et D pris dans cet ordre forment un quadrilatère convexe, alors l'inégalité est stricte si et seulement si le quadrilatère n'est pas inscriptible.
Voir aussi
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