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Théorème de Ptolémée
Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d'un quadrilatère. L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit pour ses calculs liés à l'astronomie.
Sommaire
Énoncé
Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.
Avec les notations de la figure, ce théorème peut être traduit par :
Théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère convexe ABCD,
ABCD est inscriptible Démonstration de l'implication directe
Par raisonnement géométrique
Soit ABCD un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles et sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même .
Construisons le point K tel que et .
On a alors .
Ainsi, les triangles ABK et DBC sont semblables (figure du milieu), de même que ABD et KBC (figure de droite).
On obtient les relations suivantes (voir triangle semblable) : et
d'où et
en additionnant il vient et par construction .
On en déduit l'égalité du théorème : .
Démonstration de la réciproque
(1) Nous admettrons que l'antécédent d'une droite d par l'inversion de pôle A et de rapport k non nul telle que A n'appartient pas à d est un cercle passant par A, privé de A.
Soient A,B,C et D quatre points distincts tels que
Considérons l'inversion de pôle A et de rapport 1, qui transforme B en B', C en C' et D en D'.
Il vient : , de même et .
En divisant notre première égalité par , on obtient :
Soit encore :
Ainsi les points B', C' et D' sont alignés. D'après (1) : B, C et D appartiennent à un cercle passant par A. Le quadrilatère ABCD est donc inscriptible.
Lemme
Second théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère inscriptible non croisé ABCD, les longueurs des côtés et des diagonales vérifient la relation :
Voir aussi
- Inégalité de Ptolémée
- Théorème de Casey
Liens externes
- (fr) Une démonstration du théorème et de sa réciproque sur le site "Descartes et les mathématiques".
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