Inégalité de Ptolémée

Inégalité de Ptolémée

L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.

Énoncé

Inégalité de Ptolémée — Soient A, B C et D quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,

AC.BD \leq AB.CD+BC.AD~.

Démonstration

Figure de l'inégalité de Ptolémée.

Cette inégalité se déduit directement de l'inégalité triangulaire.

Notons

b=\overrightarrow{AB},\qquad c=\overrightarrow{AC},\qquad d=\overrightarrow{AD}~.

Un calcul immédiat donne :

{\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\|}^2 = \frac{1}{\|b\|^2}-2\frac{<b|c>}{\|b\|^2\|c\|^2}+\frac{1}{\|c\|^2} =\frac{\|b-c\|^2}{\|b\|^2\|c\|^2}
\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\| =\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}

Appliquons l'inégalité triangulaire aux trois vecteurs

d/\|d\|^2-b/\|b\|^2,\qquad d/\|d\|^2-c/\|c\|^2\qquad\text{et}\qquad c/\|c\|^2-b/\|b\|^2~:
\frac{\|d-b\|}{\|d\|.\|b\|} \leq \frac{\|d-c\|}{\|d\|.\|c\|}+\frac{\|c-b\|}{\|c\|.\|b\|}

Multiplions cette inégalité par \|b\|.\|c\|.\|d\|~:

\|c\|.\|d-b\|\leq \|b\|.\|d-c\|+\|d\|.\|c-b\|~,

d'où l'inégalité voulue.

Cas particulier

Il y a égalité si et seulement si les points A, B, C et D pris dans cet ordre forment un quadrilatère convexe inscriptible. C'est le théorème de Ptolémée.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Ptolémée de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Inegalite de Ptolemee — Inégalité de Ptolémée L inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d un espace affine euclidien. Énoncé Inégalité de Ptolémée   Soient A, B C et D quatre points d un espace affine euclidien.… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité De Ptolémée — L inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d un espace affine euclidien. Énoncé Inégalité de Ptolémée   Soient A, B C et D quatre points d un espace affine euclidien. Alors, Démonstration… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité de ptolémée — L inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d un espace affine euclidien. Énoncé Inégalité de Ptolémée   Soient A, B C et D quatre points d un espace affine euclidien. Alors, Démonstration… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Ptolemee — Théorème de Ptolémée Figure du théorème de Ptolémée. Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d un quadrilatère. L implication directe est attribuée à l astronome et mathématicien grec Ptolémée,… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de ptolémée — Figure du théorème de Ptolémée. Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d un quadrilatère. L implication directe est attribuée à l astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Ptolémée — Figure du théorème de Ptolémée. Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d un quadrilatère. L implication directe est attribuée à l astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Liste d'équations et formules — Ceci est une Liste des équations et formules par ordre alphabétique. Cette liste contient les équations, les formules, les relations et autres identités, égalités ou inégalités. Sommaire : Haut A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Équations Et Formules — Ceci est une Liste des équations et formules par ordre alphabétique. Cette liste contient les équations, les formules, les relations et autres identités, égalités ou inégalités. Sommaire : Haut A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”