Inégalité de Ptolémée

Inégalité de Ptolémée

L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.

Énoncé

Inégalité de Ptolémée — Soient A, B C et D quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,

AC.BD \leq AB.CD+BC.AD~.

Démonstration

Figure de l'inégalité de Ptolémée.

Cette inégalité se déduit directement de l'inégalité triangulaire.

Notons

b=\overrightarrow{AB},\qquad c=\overrightarrow{AC},\qquad d=\overrightarrow{AD}~.

Un calcul immédiat donne :

{\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\|}^2 = \frac{1}{\|b\|^2}-2\frac{<b|c>}{\|b\|^2\|c\|^2}+\frac{1}{\|c\|^2} =\frac{\|b-c\|^2}{\|b\|^2\|c\|^2}
\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\| =\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}

Appliquons l'inégalité triangulaire aux trois vecteurs

d/\|d\|^2-b/\|b\|^2,\qquad d/\|d\|^2-c/\|c\|^2\qquad\text{et}\qquad c/\|c\|^2-b/\|b\|^2~:
\frac{\|d-b\|}{\|d\|.\|b\|} \leq \frac{\|d-c\|}{\|d\|.\|c\|}+\frac{\|c-b\|}{\|c\|.\|b\|}

Multiplions cette inégalité par \|b\|.\|c\|.\|d\|~:

\|c\|.\|d-b\|\leq \|b\|.\|d-c\|+\|d\|.\|c-b\|~,

d'où l'inégalité voulue.

Cas particulier

Il y a égalité si et seulement si les points A, B, C et D pris dans cet ordre forment un quadrilatère convexe inscriptible. C'est le théorème de Ptolémée.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Ptolémée de Wikipédia en français (auteurs)

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