Impedance acoustique

Impedance acoustique

Impédance acoustique

L'impédance acoustique caractérise la résistance qu'un milieu oppose à sa mise en mouvement lorsqu'il est traversé par une onde acoustique. Elle est définie comme le rapport de la pression acoustique sur la vitesse de déplacement locale dans un milieu, et est généralement notée Z.

Il faut distinguer :

  • l'impédance caractéristique d'un milieu, comme par exemple l'air,
  • l'impédance d'un composant acoustique comme par exemple un résonateur, un silencieux ou un tuyau d'orgue.

Sommaire

L'impédance caractéristique

L'impédance caractéristique d'un milieu (solide, liquide ou gazeux) est définie comme le rapport de la pression acoustique sur la vitesse de déplacement en milieu ouvert (c’est-à-dire en l'absence d'ondes réfléchies). Elle est analogue à l'impédance caractéristique d'une ligne coaxiale.

L'impédance caractéristique est une propriété du matériau considéré et est égale, dans le cas d'un espace illimité, au produit de la masse volumique du matériau ρ par la vitesse du son c dans ce même matériau :

Z = ρ . c


Unités : ρ étant exprimé en kg/m3, c en m/s, Z est exprimé en Pa.s/m.

La masse volumique et la vitesse du son variant avec la température, c'est aussi le cas pour l'impédance acoustique. A titre d'exemple, le tableau suivant donne la vitesse du son dans l'air c, la masse volumique de l'air ρ et l'impédance acoustique de l'air Z en fonction de la température T.

T (°C) c (m/s) ρ (kg/m³) Z (Pa.s/m)
-10 325.4 1.341 436.5
-5 328.5 1.316 432.4
0 331.5 1.293 428.3
+5 334.5 1.269 424.5
+10 337.5 1.247 420.7
+15 340.5 1.225 417.0
+20 343.4 1.204 413.5
+25 346.3 1.184 410.0
+30 349.2 1.164 406.6

L'impédance d'un composant acoustique

Dans ce cas, c'est la définition générale de l'impédance acoustique qui est utilisée, la vitesse étant mesurée à l'entrée du composant considéré. On parle alors d'impédance acoustique spécifique, puisqu'elle ne fait intervenir que des grandeurs intensives (la pression acoustique et la vitesse de déplacement), par opposition à d'autres définitions qui introduisent la section d'entrée du composant acoustique, une grandeur extensive par nature.

Ainsi, connaissant la section S, il est aussi possible de définir :

  • une impédance mécanique Z_m = \frac{S \, p}{v} = S \, Z, S p étant la force exercée sur la colonne d'air ;
  • une impédance hydraulique Z_h = \frac{p}{S \, v} = \frac{Z}{S}, S v étant le débit volumique acoustique à l'entrée du composant.

Application à la propagation des ondes à l'interface entre deux milieux

Lorsqu'une onde acoustique rencontre l'interface séparant deux milieux d'impédances acoustiques différents, une partie de l'onde est transmise dans l'autre milieu tandis qu'une autre partie se réfléchit sur l'interface. La notion d'impédance acoustique permet d'étudier complètement et quantitativement ce phénomène et d'estimer les quantités d'énergie acoustique transmises et réfléchies.

Ondes d'incidences normales, ondes réfléchies et ondes transmises à l'interface séparant deux milieux acoustiques M1 et M2

Lois et hypothèses constitutives de l'acoustique linéaire

L'étude de la propagation des ondes à l'interface de deux milieux acoustiques peut se faire en première approximation sous les hypothèses de l'acoustique linéaire non dispersive, et en se restreignant aux ondes d'incidence normale à l'interface. Dans ce cas, la thermodynamique fournit une relation constitutive linéaire entre les efforts et la déformation : p(x, t) = - \rho \, c^2 \, \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)

dans laquelle x est la variable d'espace suivant la direction normale à l'interface, p(x, t) est la pression acoustique dans le milieu, u(x, t) est le champ des déplacements, ρ est la masse volumique du milieu, et c est la célérité du son dans le milieu.

Cette équation est valable aussi bien pour :

  • un liquide, auquel cas ρ c2 = B est son module de compressibilité ;
  • un gaz, auquel cas ρ c2 = γ p0, γ étant le rapport des chaleurs spécifiques et p0 la pression moyenne. En acoustique linéaire, la pression acoustique p est une perturbation de cette pression moyenne ;
  • un solide dont on ne considère qu'une direction privilégiée pour la propagation des ondes, par exemple une barre en traction-compression, ρ c2 = E étant le module d'Young, une corde vibrante, ρ c2 = \frac{T}{S} étant le rapport de la tension T de la corde sur sa section S, ou une barre en torsion, ρ c2 = G étant le module de Coulomb ou module de cisaillement de la barre. De plus, la pression acoustique p doit être remplacée par la contrainte σ suivant la direction de propagation de l'onde.

Pour plus de précisions, voir la définition de la vitesse du son dans les différents milieux pré-cités.

Ecriture de l'équation unidimensionnelle des ondes

Le principe fondamental de la dynamique appliqué localement au milieu et dans la direction normale à l'interface s'écrit : \rho \, \frac{\partial v}{\partial t}(x, t) = - \frac{\partial p}{\partial x}(x, t)

En remarquant que v = \frac{\partial u}{\partial t}, on peut combiner cette équation avec la loi constitutive de l'acoustique linéaire pour obtenir l'équation des ondes, aussi appelée équation de D'Alembert, qui est vérifiée simultanément par la vitesse et la pression acoustique :

\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}(x, t) = c^2 \, \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x, t)

\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}(x, t) = c^2 \, \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}(x, t)

La vitesse v étant solution de l'équation des ondes, on peut rechercher une solution de propagation sous la forme de la somme d'une onde directe f et d'une onde rétrograde g :

v(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)

En dérivant cette dernière équation, il vient :

\frac{\partial v}{\partial x}(x, t) = f^\prime(x - c \, t) + g^\prime(x + c \, t)

De même, en dérivant la loi constitutive :

\frac{\partial p}{\partial t}(x, t) = - \rho \, c^2 \, \frac{\partial v}{\partial x}(x, t) = - \rho \, c^2 \, (f^\prime(x - c \, t) + g^\prime(x + c \, t))

Sachant que la pression acoustique s'écrit elle aussi sous la forme d'une solution de propagation, il est possible de l'identifier à l'expression ci-dessus, en introduisant l'impédance acoustique Z = ρ c :

p(x, t) = Z(f(x - ct) - g(x + ct))

Relation entre amplitude des ondes à l'interface de deux milieux

Cas général

Si l'on choisit l'origine x = 0 à l'interface entre les deux milieux M1 = { x < 0 }, d'impédance acoustique Z1, et M2 = { x > 0 }, d'impédance acoustique Z2, on peut définir les restrictions suivantes :

  • f1 la restriction de la fonction d'onde directe sur M1 ;
  • g1 la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur M1 ;
  • f2 la restriction de la fonction d'onde directe sur M2 ;
  • g2 la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur M2.

En x = 0, la condition de continuité des vitesses et des pressions s'écrit

f1(-ct) + g1(ct) = f2(-ct) + g2(ct)

et

Z1 (f1(-ct) - g1(ct)) = Z2 (f2(-ct) - g2(ct))

Si l'on se donne l'onde directe venant de la gauche f1 et l'onde rétrograde venant de la droite g2, on peut en déduire les ondes transmises f2 et réfléchies g1 : \begin{pmatrix}f_2\\g_1\end{pmatrix} = \frac{1}{Z_1 + Z_2} \, \begin{pmatrix}Z_2 - Z_1&2 \, Z_1 \\2 \, Z_2&Z_1 - Z_2\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}g_2\\f_1\end{pmatrix}

Dans cette matrice, les éléments ont la signification physique suivante :

  • t_{12} = \frac{2 \, Z_1}{Z_1 + Z_2} est le coefficient de transmission en amplitude des ondes depuis M1 vers M2 ;
  • r = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} est le coefficient de réflexion en amplitude des ondes venant de M1 sur l'interface ;
  • - r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_1 + Z_2} est le coefficient de réflexion en amplitude des ondes venant de M2 sur l'interface ;
  • t_{21} = \frac{2 \, Z_2}{Z_1 + Z_2} est le coefficient de transmission en amplitude depuis M2 vers M1.

Ces coefficients sont analogues à ceux donnés par les formules de Fresnel en électromagnétisme.

Etude de quelques cas limites

Trois cas particuliers peuvent être etudiés avec intérêt :

  • Le cas Z2 / Z1 = 0, alors r = 1, l'onde incidente se réfléchit à l'identique sur l'interface ;
  • Le cas Z2 / Z1 = 1, alors r = 0 et t12 = 1, l'onde incidente se transmet complètement, l'impédance des deux milieux est dite adaptée ;
  • Le cas Z2 / Z1 = \infty, alors r = -1, l'onde incidente se réfléchit en changeant de signe.

Relation entre puissance des ondes à l'interface

La densité de puissance d'une onde acoustique suivant une direction est donnée dans le cas général par

\Pi(x, t) = p(x, t) \, v(x, t) = Z \, (f^2(x - c\, t) - g^2(x + c\, t))

C'est une quantité homogène à une puissance par unité de surface (exprimée en W.m-2), qui est souvent assimilée à l'intensité acoustique.

On peut calculer les coefficients de transmission et de réflexion énergétiques, par exemple en se plaçant dans le cas d'une unique onde directe incidente (f1 \neq 0 et g2 = 0).

Le coefficient de réflexion énergétique exprime la quantité d'énergie contenue dans l'onde réfléchie g1, étant donné une onde incidente directe f1 :

R = \frac{\Pi(x < 0, t > 0)}{\Pi(x < 0, t < 0)} = \frac{Z_1 \, g^2_1}{Z_1 \, f^2_1} = r^2 = \left(\frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2}\right)^2

Le coefficient de transmission énergétique exprime la quantité d'énergie contenue dans l'onde transmise f2, étant donnée une onde incidente directe f1 :

T = \frac{\Pi(x > 0, t > 0)}{\Pi(x < 0, t < 0)} = \frac{Z_2 \, f^2_2}{Z_1 \, f^2_1} = \frac{Z_2 \, t^2_{12}}{Z_1} = \frac{4 \, Z_1 \, Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2}

Étant données les deux définitions ci-dessus, on peut aisément vérifier la conservation de l'énergie :

R + T = 1

Les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques sont souvent exprimés décibel, en écrivant

RdB = 10 log10 R

et

TdB = 10 log10 T

Application numérique

Si l'on considère l'interface entre l'eau, d'impédance acoustique Z1 = 1.5 · 106 Pa.s/m, et l'air, d'impédance acoustique Z2 = 430 Pa.s/m, on trouve des coefficients de réflexion et transmission :

R = -0.005 dB

et

T = -30 dB

Les sons ne se transmettent quasiment pas d'un milieu à l'autre, comme cela peut être constaté en plongée sous-marine.

Références

  • C. Lesueur, Rayonnement acoustique des structures, Eyrolles, Paris, 1988.
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